Дедукция метод это: Дедукция — Гуманитарный портал

Дедуктивный метод в преподавательской и аналитической работе / Хабр

Что такое дедукция?

Дедукция — это логически правильный вывод из уже имеющегося знания или из уже имеющихся мыслей. Выводы, построенные с помощью дедукции, изучает наука логика. Натуральная дедукция в логике использует правила, которые близки тому, как рассуждает человек, поэтому она так и называется »натуральная дедукция”. Дедукция применяется в повседневной жизни, а также в преподавательской и аналитической работе.

Пример дедуктивного рассуждения в логике

Дедукция известна со времен Аристотеля. Именно Аристотель рассматривал умозаключения с посылками и выводом.

Пример дедуктивного умозаключения:

Все люди смертны.
Сократ – человек.
Следовательно, Сократ смертен.

Первые два суждения называются посылками, а последнее суждение – это вывод или следствие.
В логике существуют определенные правила вывода, на основе которых строятся рассуждения. Эти правила нужны для того, чтобы приходить к истинному выводу, исходя из истинных посылок.

Применение дедуктивных рассуждений в повседневной жизни

В рассказах Конан Дойла знаменитый сыщик Шерлок Холмс говорит о своём дедуктивном методе. Действительно, он рассматривает общую картину преступления, потом изучает детали. Дедукция — это рассуждение от общего знания к частному. То есть если мы имеем какое-то уже исходное знания, то мы дальше в процессе рассуждения приходим к неким выводам.

Представим, как бы рассуждал сыщик. Допустим мы находимся вне города и видим человека, который несёт рыбу.

Исходное знание – человек несет рыбу. Далее наше рассуждение выглядит так. Мы можем предположить, что, первое, — человек купил эту рыбу в магазине. Но магазина рядом нет, так что скорее всего он взял рыбу у кого-то или поймал ее сам. Если человек поймал рыбу сам, то тогда у него должно быть удочки с собой. Но удочки у него нет. Тогда, возможно, удочка осталась на берегу или у него вовсе не было удочки.

Если у этого человека нет удочки вовсе, то он взял рыбу у кого-то. Сыщику достаточно будет посмотреть, нет ли на берегу удочки. Если она есть – то этот человек сам выловил рыбу. Если ее нет, то человек взял у кого-то эту рыбу.
Это пример дедуктивного рассуждения: есть исходное общее знание, и далее мы рассматриваем частности и детали.

Пример дедуктивного рассуждения при принятии решения

У Андрея сейчас уровень английского языка чуть ниже среднего. Он хочет достичь среднего уровня английского языка (B1) через 3 месяца. Рассмотрим рассуждения Андрея.

Если я буду заниматься самостоятельно, то мне нужно будет самому искать учебные материалы, упражнения и выполнять задания без проверки преподавателя. Тогда я должен буду запланировать 3 часа в день на занятия английским, чтобы через 3 месяца достичь уровня B1.

Если я буду заниматься с преподавателем 2 раза в неделю, то тогда мне не нужно искать учебные материалы, упражнения, и преподаватель будет проверять мои задания.

В этом случая я должен запланировать 2 часа в день на занятия английским языком, чтобы через 3 месяца достичь уровня B1.

Заниматься самостоятельно или заниматься с преподавателем

Заниматься самостоятельно

Запланировать 3 часа на занятия английским языком в день.
Я достигну уровня B1 через 3 месяца.

Заниматься с преподавателем

Запланировать 2 часа в день на занятия английским языком.
Я достигну уровня B1 через 3 месяца.

Я достигну уровня B1 через 3 месяца.

Как дедуктивный метод помогает в жизни?

1. Цель определяется заранее.
2. Рассматриваем варианты того, как вы ее можете достигнуть.
3. На принятие решения не оказывают влияние эмоции.
4. На принятие решения не оказывают влияния советы третьих лиц.
5. Вы сами выбираете направление, которое вам позволит прийти к цели.
6. Вы можете выбрать наиболее экономичное (в денежном или время затратном плане) решение.

Применение дедуктивного метода в преподавании и аналитической работе

Дедуктивный метод в преподавании основывается на объяснении с помощью правил. Вначале идет презентация правил, а потом следуют примеры употребления этих правил и упражнения на их отработку.

Примером дедуктивного обучения может быть следующая ситуация:
Вы устроились на новое место работы. В первый рабочий день вы заметили, что ваши новые коллеги ставят плюсик напротив своей фамилии при входе в здание, берут пропуск, а после рабочего дня отдают пропуск на выходе из здания. После вы делаете тоже самое.

Итак, используя дедуктивный метод вы опираетесь изначально на некоторое правило. Например, в работе преподавателя иностранных языков применение этого метода будет следующим.

Когда начинается занятие по грамматике, после некоторого вступления, приветствия, преподаватель сначала объясняет правило использования той или иной грамматической конструкции, потом приводит примеры использования, и дает студентам упражнения на применение этого правила.

Применение дедуктивного метода в когнитивно-поведенческой психологии

Рассмотрим пример применения дедуктивного метода в когнитивно-поведенческая психологии. Работа психотерапевта – аналитическая, специалист анализирует мыслительный процесс клиента, делает выводы. Необходимо отметить, что особенность этой терапии заключается в том, что клиент проводит большую самостоятельную работу, читает литературу и отрабатывает навыки.

Когда клиент приходит на первую сессию к психотерапевту, то ему не известны суть и особенности проведения консультаций у психотерапевта, работающего в этом направлении. Психотерапевт сначала объясняет специфику когнитивно-поведенческой терапии, рассказывает, как убеждения влияют на эмоции, а потом уже терапевт задает задание на применение и отработку определенных правил выявления когнитивных искажений.

Безусловно, как преподаватели, так и психотерапевты используют различные методы в своей работе. Каждый метод имеет свои особенности, преимущества и недостатки. Еще раз подчеркну, что в этой статье я рассматриваю приемы и методику именно дедуктивного метода.

Обзор дедуктивного подхода в преподавательской и аналитической работе был бы не полным, если не рассмотреть некоторые недостатки метода.

Недостатки дедуктивного подхода

Рассмотрим на примере использования этого метода в преподавании иностранного языка.

1. Начинать урок с презентации грамматики может быть трудоемким и сложным для некоторых студентов, особенно начального уровня. Они могут не знать специфической терминологии для объяснения грамматики. Кроме того, они могут не понимать некоторые более простые грамматические конструкции.
2. Объяснение грамматики переводит центр внимания на преподавателя, тем самым уменьшая количество времени, которое можно использовать на взаимодействие студентов друг с другом. Тем самым, не уделяется основное время урока на отработку навыков общения и использование языка в речи.
3. Объяснение не так хорошо воспринимается, как другие формы презентации материала, как например наглядная демонстрация.
4. Такой подход может внушить студенту мысль, что знание языка – это просто знание некоторого набора правил.

Дедуктивный метод имеет множество преимуществ, рассмотрим некоторые из них.

Преимущества дедуктивного метода

1. Он сразу достигает поставленной цели, и поэтому может быть экономным в плане финансовых затрат. Многие правила, в особенности правила грамматической формы, может быть просто и быстро объяснено, затем выявляться из примеров. Это дает больше времени на практику и применение правил.
2. Дедуктивный метод признает знания и зрелость студентов, а также роль когнитивных процессов в освоении языка.
3. Он оправдывает ожидания многих студентов от процесса обучения, в особенности тех студентов, у которых аналитический стиль изучения нового материала.
4. Он позволяет преподавателям иметь дело с различными особенностями языка в процессе урока вместо того, чтобы предполагать заранее те вопросы, которые могут возникнуть и готовиться к ним до урока.

Литература:

Thornbury S. How to Teach Grammar. Pearson Education Limited, 1999
Johan van Benthem, Hans van Ditmarsch, Jan van Eijck, Jan Jaspars. Logic in Action, 2016
Фотографии взяты из открытого источника www.pexels.com

Метод дедукции — это… Что такое Метод дедукции?

Метод дедукции

Дедукция (лат. deductio — выведение) — метод мышления, при котором частное положение логическим путем выводится из общего, вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждение), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования. Началом (посылками) дедукции являются аксиомы, постулаты или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом — следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и ее следствия. Дедукция — основное средство доказательства.

Противоположно индукции.

Разделительно-категорические умозаключения

Умозаключения, в которых одна из предпосылок является разделительным суждением, а вторая совпадает с одним из членов дизъюнктивного суждения (1) или отрицает все кроме одного (2). В заключении, соответственно, отрицаются все члены кроме указанного во второй предпосылке (1) или утверждается пропущенный член (2).

Формы правильных модусов разделительно-категорических заключений

1. утверждающе-отрицающий модус (лат. modus ponendo-tollens):
2. отрицающе-утверждающий модус (лат. modus tollendo-ponens):

Условные умозаключения

Умозаключения, посылки и заключения которых — условные суждения.

• контрапозиция:
• сложная контрапозиция:
• транзитивность:

Дилеммы

Особый вид умозаключений из двух условных суждений и одного разделительного.

Виды правильных дилемм

• конструктивные:

(сложная)

• деструктивные:

(сложная)

См.

также

Wikimedia Foundation. 2010.

• Метод градиентного спуска
• Метод градиентов

Смотреть что такое «Метод дедукции» в других словарях:

• метод дедукции — dedukcijos metodas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. deductive method vok. deduktive Methode, f rus. дедуктивный метод, m; метод дедукции, m pranc. méthode de déduction, f …   Fizikos terminų žodynas

• Метод — специальный путь исследования какого либо предмета.Обыкновенно принимают два основных М. аналитический (разлагающийисследуемый предмет на простейшие части) и синтетический (соединяющийотдельные элементы в одно целое). Такое словоупотребление,… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

• Метод экономической теории — это совокупность способов, приемов познания производственных отношений и воспроизведение их в системе экономических категорий и законов. Метод не может быть произвольным. Он определяется предметом исследования. Метод исследования экономической… …   Словарь по экономической теории

• Метод — специальный путь исследования какого либо предмета. Обыкновенно принимают два основных М. аналитический (разлагающий исследуемый предмет на простейшие части) и синтетический (соединяющий отдельные элементы в одно целое). Такое словоупотребление,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• дедуктивный метод — dedukcijos metodas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. deductive method vok. deduktive Methode, f rus. дедуктивный метод, m; метод дедукции, m pranc. méthode de déduction, f …   Fizikos terminų žodynas

• Аксиоматический метод — метод построения научной теории как системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории …   Начала современного естествознания

• ГИПОТЕТИКО-ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД — метод научного познания и рассуждения, основанный на выведении (дедукции) заключений из гипотез и др. посылок, истинностное значение которых неизвестно. Поскольку в дедуктивном рассуждении значение истинности переносится на заключение, а… …   Философская энциклопедия

• аксиоматический метод — способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. * * * АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ… …   Энциклопедический словарь

• Дедуктивный метод — Дедукция (лат. deductio  выведение)  метод мышления, при котором частное положение логическим путем выводится из общего, вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждение), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического… …   Википедия

• АНАЛИТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ МЕТОД —     АНАЛИТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ МЕТОД разрешающий метод для проблемы общезначимости формул классической, интуиционистской и модальной (система S4) логики высказываний. В сочетании с некоторыми дополнительными приемами этот метод применим и для… …   Философская энциклопедия

Что такое ДЕДУКЦИЯ и ИНДУКЦИЯ

Дедукция или Дедуктивное умозаключение – это одна из двух основных форм логического рассуждения основанная на идеи о том, что если что-то справедливо для целого класса вещей, то это является справедливым и для всех членов данного класса.

 

 

Что такое ДЕДУКЦИЯ – простыми словами. МЕТОД ДЕДУКЦИИ

 

Простыми словами, Дедукция – это вариант мышления, при котором человек делает определенные логические выводы, основываясь на знаниях о классе вещей в целом, и переносит определенные черты на конкретную вещь. Другими словами, можно сказать что дедукция, это вариант логических рассуждений, направленных от общего к частному.

 

 

Несмотря на витиеватость определения, само понятие дедукции является весьма простым, особенно если понимать принцип работы дедуктивного метода. Итак, Дедуктивный метод работает следующим образом: Если мы знаем, что все представители определенного класса обладают каким-то свойством, то при рассмотрении одного из представителей этого класса, справедливо будет предположить, что и он обладает этим свойством. Так к примеру: Если мы знаем, что все люди смертны, а гипотетический Сережа — человек, то, следовательно, он тоже смертен.

 

Пример ДЕДУКЦИИ

 

• У всех птиц есть перья. Попугай – это птица, следовательно, у попугая есть перья;
• В красном мясе содержится железо. Говядина — красное мясо, поэтому в говядине есть железо;
• Рептилии – холоднокровные, а змеи, это рептилии. Следовательно, змеи – холоднокровные;
• Если A = B и B = C, то A = C;

 

 

Что такое ИНДУКЦИЯ – простыми словами определение, значение.

 

Индукция или Индуктивное рассуждение — это метод построения логического умозаключения основанный на принципе: от частного к общему. Так к примеру, если мы видим, что гипотетический Сережа умер, и он является человеком, то можно предположить, что все люди смертны.

 

 

Подведя итог, про дедукцию и индукцию можно сказать что:

Индуктивные и дедуктивные рассуждения — это два противоположных, но не исключающих друг друга подхода, которые можно использовать для оценки выводов. Дедуктивное рассуждение предполагает наличие общего утверждения, из которого в дальнейшем и строится вывод о частном случае. С другой стороны, индуктивное рассуждение берет за основу серию частных случаев из которых и формируется общая теория. Подходы имеют различия, но важно понимать, что как индуктивное, так и дедуктивное рассуждение может оказаться ложным особенно если исходная предпосылка аргументации неверна. Оптимальным вариантом при построении логических выводов является использование комбинации этих методов.

 

 

На заметку: Шерлок Холмс (литературный персонаж, созданный Артуром Конан Дойлом) – не использовал только дедуктивный метод. В большинстве случаев он строил свои выводы используя модель индуктивных рассуждений.

Дедукция и индукция | Проект Поддержка

Товарищество собственников жилья «Новый бульвар» оспаривало решение налоговой инспекции, согласно которому средства, полученные ТСЖ от жильцов многоквартирного дома в качестве коммунальных платежей, были квалифицированы как облагаемый доход.

Выводы по результатам проверки заключались в том, что деятельность налогоплательщика фактически представляет собой возмездное предоставление услуг, а следовательно, с точки зрения налогообложения, ничем не отличается от аналогичных хозяйственных операций.

Арбитражный суд первой инстанции признал решение налогового органа незаконным, но в апелляционной инстанции судебный акт был отменён, а суд округа подтвердил постановление апелляции.

Окончательно разрешая спор, Коллегия ВС РФ обратилась к положениям ст. 41 НК РФ, в соответствии с которыми облагаемый доход понимается в значении «экономическая выгода». Приняв во внимание установленный факт, что все собранные средства были направлены на оплату коммунальных ресурсов, Коллегия указала, что полученный налогоплательщиком доход не может рассматриваться как экономическая выгода.

Кроме того, мотивируя своё решение, Коллегия сослалась на п. 2 постановления Пленума ВАС РФ от 05.10.2007 № 57 «О некоторых вопросах практики рассмотрения арбитражными судами дел, касающихся взимания налога на добавленную стоимость по операциям, связанным с предоставлением жилых помещений в пользование, а также с их обеспечением коммунальными услугами и с содержанием, эксплуатацией и ремонтом общего имущества многоквартирных домов», которым разъяснён особый статус ТСЖ.

Как следует из этого постановления, ТСЖ не является хозяйствующим субъектом с самостоятельными экономическими интересами, отличными от интересов членов ТСЖ. Таким образом, ТСЖ, заключая договоры на оказание коммунальных услуг, на эксплуатацию, содержание и ремонт жилых помещений и общего имущества в многоквартирных домах, а также трудовые договоры со специалистами, выступает в имущественном обороте не в своих интересах, а в интересах членов ТСЖ.

Индукция и дедукция. Анализ и синтез

Индукция и дедукция – это два противоположных метода рассуждения. Они не исключают друг друга и обычно используются для оценки определённых выводов. Оба подхода имеют различия, но важно понимать, что при использовании и того, и другого можно получить ложное суждение, особенно в случае, если исходные предпосылки аргументации неверны. Получение логически правильных выводов возможно при применении обоих способов одновременно. 

Индукция

Характерной особенностью этого способа является то, что знания, которые получены при помощи индуктивного способа, всегда носят, скорее, вероятностный характер, нежели заведомо истинный.

Определение 1

Индукция – свод правил, которые дают возможность совершить переход от частного к общему, от знания отдельных фактов к знанию закона, который лежит в основе этих фактов.

Дедукция

Индуктивному методу исследования противоположен дедуктивный как метод получения единичного знания из общего.

Определение 2

Дедукция – это переход от посылок к заключению, который опирается на логический закон, а поэтому он следует из принятых посылок с логической необходимостью.

Характерной особенностью дедуктивного способа является то, что от истинных посылок она всегда ведёт только к истинному заключению. Других вариантов быть не может.

Пример 1

Дедуктивный метод знаком многим из произведений Конана Дойла Шерлока Холмса. Именно этот литературный персонаж регулярно говорил о методе дедукции, хотя по своей сути он наоборот должен был называться индуктивным, ведь герой романов Конана Дойла всегда шёл в своих расследованиях от наблюдений к восстановлению общей картины преступления.

В научной среде метод дедукции выглядит как процесс выведения из исходных основных законов и гипотез по тем или иным правилам знаний, которые являются производными. Это способ даёт возможность путём нехитрых логический умозаключений, получить следствия в большом количестве, из относительно немногочисленных основных положений теории.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Учёные и мыслители XVII–XVII вв. занимались противопоставлением этих методов, но тот период давно прошёл и сегодня эти оба метода действуют в совокупности куда более эффективно, нежели по отдельности. Индуктивный метод может дать знания только вероятностные, в естественных науках, и то это будут знания несовершенной формы. Однако он достаточно эффективен для исследования научного познания, связанного с возникновением нового знания. Метод дедукции, в свою очередь, даёт возможность обратить внимание на содержание теории и сделать истинные выводы.

Анализ и синтез

Анализ и синтез чаще всего проводят в совокупности, поскольку это приводит к более глубокому познанию и более широкому раскрытию действительности.

Определение 3

Анализ – это мыслительный процесс, посредством которого происходит разделение сложного объекта на отдельные части, из которых он состоит, или характерные особенности, которые в последствии сравниваются.

Определение 4

Синтез – это процесс, противоположный анализу, т.е. процесс, который служит для воссоздания целого из аналитически заданных частиц.

Наблюдение. Эксперимент. Измерение

Научное познание кроме общелогических методов представлено и другими способами познания, а именно эмпирическим и теоретическим методами. Эмпирические методы это:

• Наблюдение. Представляет собой восприятие, целенаправленно организованное на предметы и явления окружающего мира.
• Эксперимент. Вид специфической практической деятельности, которая способствует изменению объекта, для того, чтобы открылась возможность получить определённую информацию о свойствах и связях, которые присущи ему.
• Измерение. Познавательный процесс, посредством которого устанавливаются отношения данной величины к другой однородной величине, которая установлена как единица измерения.

Наблюдение играет важнейшую роль в науке и познании. Она заключается в том, чтобы обеспечивать науку эмпирической информацией. В свою очередь, данная информация необходима для возможности поставить новые задачи и проблемы, а также выдвинуть новые гипотезы. Кроме того, в последствие их необходимо проверить.

Процессы измерения для науки, безусловно, важны, однако несколько утрированное мнение на этот счёт высказал английский физик У. Томсон.

Замечание

У. Томсон писал: «Если вы знаете, как измерить объект, значит, вы кое-что о нём знаете; если вы не знаете, как его измерить, значит, вы ничего о нём не знаете».

В свою очередь, основная задача в научном познании, которая решается посредством эксперимента – это проверка положений теории и гипотез.

Мыслительный эксперимент. Аксиоматизация. Гипотетико-дедуктивный, генетически-конструктивный и системный методы

Кроме того, к методам исследования и познания в науке причисляют ещё и мыслительный эксперимент, аксиоматизацию, гипотетико-дедуктивный метод, генетически-конструктивный метод, системный метод и т.п.

Определение 5

Мыслительный эксперимент – это определённая теоретическая процедура, в основе которой лежит получение нового или проверка имеющегося знания, посредством конструирования идеализированных объектов и манипулирования ими в ситуациях искусственно созданных специально для этих целей.

Пример 2

Г. Галилей смог сформулировать закон инерции на основе именно мыслительного эксперимента. Он сделал вывод, что идеально гладкий шар может катиться по идеально гладкой поверхности, при условии, что силы трения между шаром и поверхностью будут полностью отсутствовать.

Самое широкое применение метод мыслительного эксперимента получил именно в физике. В науке, в которой нет ни одной дисциплины, где этот метод не применяется.

В основе аксиоматического метода построения теории лежит синтезирование основных понятий и аксиом, при этом при помощи дедуктивного метода из них фиксируются правила, по которым, в свою очередь, выводятся все остальные положения системы.

Определение 6

Гипотетико-дедуктивный метод – один из основных методов для построения естественно-научных теорий. Говоря о схемах, которые действуют в теории гипотетико-дедуктивного метода, можно выделить постановку определённых гипотез и выделение из них при помощи дедукции конкретных следствий.

Далее необходимо проверить эти следствия на части целого экспериментального материала, и только после проделанных манипуляций сопоставить результаты и исходные данные.

Историко-генетический метод исследования присущ естественным наукам, таким как биология, антропология, космология, геология и пр. В этих науках в основе исследования лежат сложные развивающиеся объекты. С помощью историко-генетического подхода они раскрывают свои главные закономерности развития.

Определение 7

Генетический метод исследования – это способ познания мира и окружающей среды, в основе которого лежит анализ развития природы и социальных явлений.

Главная задача такого познания заключается в установлении связей между изучаемых явлений во времени и исследование переходов от низших форм к высшим. Однако, несмотря на то, что генетический способ является важнейшим элементом исследования появления и эволюции объекта, при помощи его невозможно раскрыть всю сложность процесса развития. Современные учёные не используют генетический способ обособленно, а чаще всего делают это вместе с методом системного анализа и сравнительно-историческим методом.

В завершении всего вышесказанного следует отметить, что научный метод – это не просто набор последовательных действий, а скорее способ установления истины. Именно поэтому в научных исследованиях средства деятельности, метода формирования и развития научного знания должны быть под пристальным контролем исследователя.

Индукция и дедукция. Какой тип умозаключений мы используем чаще?

Из этой статьи вы узнаете, что большинство управленческих решений принимается на основе индуктивных (вероятностных) суждений, а также о том, как грамотно использовать понимание этого в повседневной практике.

Холмс: Ватсон! Взгляните на эти звезды и расскажите мне, какой вывод, используя дедуктивный метод, вы можете сделать.

Ватсон: Я вижу на небе миллионы звезд. А раз они существуют, значит, среди них, возможно, есть и планеты. Из чего мы, в свою очередь, делаем вывод, что некоторые из них напоминают нашу Землю. Следовательно, на каких-то из них может существовать жизнь.

Холмс: Ватсон, вы – идиот. Это означает, что у нас украли палатку.

Определение понятий «индукция» и «дедукция»[1]

Возможно, вы удивились, встретив такой заголовок в блоге по менеджменту! Скоро вы поймете, какую огромную роль играет индукция в нашей жизни (не путайте понятие индукции в логике и магнитную индукцию :)).

Благодаря Артуру Конан Дойлу и его герою весь мир познакомился с дедуктивным методом. «Дедукция» из специального и известного только немногим термина превратилась в общеупотребительное и даже модное понятие.

Чего нельзя сказать об индукции. Вообще говоря, в логике существует два типа умозаключений: дедукция и индукция. В зависимости от того, существует ли между посылками, и заключением связь логического следования, можно выделить два вида умозаключений.

В дедуктивном умозаключении эта связь опирается на логический закон, в силу чего заключение с логической необходимостью вытекает из принятых посылок. Отличительная особенность такого умозаключения в том, что оно от истинных посылок всегда ведет к истинному заключению.

В индуктивном умозаключении связь посылок и заключения опирается не на закон логики, а на некоторые фактические или психологические основания, не имеющие чисто формального характера. В таком умозаключении заключение не следует логически из посылок и может содержать информацию, отсутствующую в них. Достоверность посылок, не означает поэтому, достоверности выведенного из них индуктивно утверждения. Индукция дает только вероятные, или правдоподобные, заключения, нуждающиеся в дальнейшей проверке.

Скачать заметку в формате Word

Прочитав эти строки, я в очередной раз убедился, как важны в нашей жизни определения. См. на эту тему, например, «Определение – ключ к овладению понятием» и «Использование методов менеджмента качества в работе оптовой торговой компании». До тех пор, пока я не познакомился с определением индукции (для лучшего понимания этого термина ниже я приведу несколько примеров), я «плавал», когда встречал упоминание о нем в литературе.

Примеры дедукции

Если идет дождь, земля мокрая

Все люди смертны. Все греки – люди. Следовательно, все греки – смертны.

Примеры индукции

Аргентина является республикой; Бразилия – республика; Венесуэла – республика; Эквадор – республика. Аргентина, Бразилия, Венесуэла, Эквадор – латиноамериканские государства. Все латиноамериканские государства являются республиками.

Италия – республика; Португалия – республика; Финляндия – республика; Франция – республика. Италия, Португалия, Финляндия, Франция – западноевропейские страны. Все западноевропейские страны являются республиками.

Индукция не дает полной гарантии получения новой истины из уже имеющихся [истин]. Максимум, о котором можно говорить, – это определенная степень вероятности выводимого утверждения. Так, посылки и первого и второго индуктивного умозаключения истинны, но заключение первого из них истинно, а второго – ложно. Действительно, все латиноамериканские государства – республики; но среди западноевропейских стран имеются не только республики, но и монархии, например Англия, Бельгия и Испания.

Почувствовали разницу? Ничего не вспомнили из вашей бизнес-практики на эту тему? Не делали ли вы ранее скоропалительных выводов на основе индукции?

Вот несколько примеров «работы» индукции: «Петров вчера не справился с производственным заданием. Петров сегодня не справился с заданием. Следовательно, Петров не способен выполнять производственные задания», «В марте объем продаж вырос. В апреле объем продаж вырос. Нас ждет дальнейший рост продаж», «Ранее мы всегда действовали таким образом, и это приносило успех. Зачем же менять подходы?»

Углубим наше понимание индукции, ознакомившись с определениями из Википедии:

В экономике: индукция – вид обобщения, связанный с предвосхищением результатов наблюдений и экспериментов на основе данных опыта. В индукции данные опыта «наводят» на общее, поэтому индуктивные обобщения рассматриваются обычно как опытные истины или эмпирические законы. Изучая финансово-хозяйственную деятельность ряда типичных российских предприятий, мы можем делать, например, выводы о закономерностях развития совокупности предприятий.

В логике: полная индукция – метод доказательства, при котором утверждение доказывается для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности; неполная индукция – наблюдения за отдельными частными случаями наводит на гипотезу, которая нуждается в доказательстве.

Итак, позвольте дать собственное определение для целей управления:

индукция – обобщающее суждение, основанное на нескольких прецедентах; возможно, лучшее предположение на основе имеющихся данных

Индукция и ограничивающие ментальные модели[2]

В Википедии нет определения понятия «ментальные модели». Я бы сказал, что ментальные модели – это совокупность наших знаний служащая нам для восприятия действительности. Другими словами –  это то, как мы представляем себе некий предмет, явление, событие. Через ментальные модели мы истолковываем свой опыт. Они не представляют собой факты, хотя иногда мы именно так к ним относимся.

Ментальные модели мы создаем для упрощения картины мира. Строительство ментальных моделей основано на индукции. Наблюдая за событиями, мы их обобщаем, и храним в памяти единую картину. С одной стороны, это позволяет не запоминать всё многообразие. С другой стороны, мы теряем изменчивость присущую вещам и событиям. Сначала процесс познания работает на ментальную модель, потом ментальная модель подгоняет увиденное под себя. Именно в это время и теряется гибкость и восприимчивость к новому.

Глубоко укоренившиеся в нас ментальные модели определенным образом организуют наше восприятие мира. Мы используем их, чтобы проводить различия и выбирать, что имеет для нас значение, а что – нет. И можем принять свои представления за реальность, спутать карту с той территорией, которая на ней изображена.

По каким характерным признакам можно судить о наличии ограничивающих ментальных моделей?

• Если вы настаиваете на том, что ваши идеи полностью соответствуют реальности.
• Если у вас узкий круг интересов, который исключает приобретение опыта.
• Если вы не допускаете неопределенности и стараетесь как можно быстрее делать выводы.
• Не стесняетесь делать обобщения на основании единственного случая.
• Каждый раз, когда вас не устраивают поведение людей и ход событий, вы имеете наготове богатый запас объяснений.
• Вину за неудачи и проблемы возлагаете на людей (не забывая при этом и себя).
• Осмысляете происходящее в терминах прямолинейной логики «причина – следствие».
• Никогда не проявляете любознательности.
• Не пересматриваете своих убеждений на основе полученного опыта.

Как противостоять формированию ограничивающих ментальных моделей? Как не позволить индукции «закрыть» путь к развитию, изучению и осмыслению нового опыта, новых данных? Как сделать так, чтобы вслед за изменением мира, менялись наши ментальные модели?

1. Почаще перечитывайте признаки ограничивающих ментальных моделей, и… делайте всё наоборот.
2. Выделите и проанализируйте использование в речи оценочных суждений и обобщающих понятий. Все сказанное сказано кем-то. Нельзя ли поставить это под сомнение? Если вам говорят, что «у нас так принято»[3], уточните, когда и почему так было принято? Может быть, изменились условия внешней или внутренней среды, изменились исходные посылки, и выводы [сделанные на основе индукции] более не верны!?
3. Такие выражения, как «следует», «должен», «не следует», «не можете» известны в лингвистике как модальные операторы. Заведите «капканы» для «отлавливания» модальных операторов, потому что они устанавливают границы и зачастую маскируют ограничивающие ментальные модели.
4. Есть слова, называемые лингвистическими универсалиями, такие как: «все», «каждый», «никогда», «всегда» «никто», «любой»… Это обобщения, указывающие на отсутствие исключений, но исключения есть всегда. Вот несколько примеров: «Все делают так», «Никогда так не говори», «Мы всегда делали это так», «Никто еще никогда не возражал». Универсалии ограничивают нас, потому что, если принять их буквально, они лишают права выбора и поиска других возможностей. Услышав такое универсальное обобщение, сразу задайте вопрос о возможности исключений.
5. Используйте выражения типа: «как мне представляется», «я так вижу», «по имеющимся данным»… Когда коллеги говорят на таком языке, споры переходят в плоскость данных и предположений; становится удобным обсуждать, как и почему сделаны именно такие выводы. Все понимают, что есть посылки и взгляды, и относятся к ним не как к фактам, а как к преломлению фактов через ментальные модели конкретных людей… 🙂

Краткий вывод для менеджеров:

индукция подменяет многообразие реальной жизни однообразными представлениями о ней; понимание этого дает вам в руки оружие против ограничивающих ментальных моделей

Индукция и теории[4]

«Никакое количество наблюдений белых лебедей не может позволить сделать вывод, что все лебеди являются белыми, но достаточно наблюдения единственного черного лебедя, чтобы опровергнуть это заключение». Нассим Талеб «Одураченные случайностью»

Ричард Фейнман, физик, Нобелевский лауреат,[5] отзываясь о философе с особо большим самомнением, говорил: «Меня раздражает вовсе не философия как наука, а та помпезность, которая создана вокруг нее. Если бы только философы могли сами над собой посмеяться! Если бы только они могли сказать: «Я говорю, что это вот так, а Фон Лейпциг считает, что это по-другому,а ведь он тоже кое-что в этом смыслит». Если бы только они не забывали пояснить, чтоэто всего лишь их лучшее предположение»

Карл Поппер, на которого широко ссылается Нассим Талеб, вторит Фейнману. Решая проблему индукции, Поппер считает, что наука не должна восприниматься так серьезно, как это принято. Есть только два типа теорий:

1. Теории, о которых известно, что они являются неверными, поскольку они были проверены и, соответственно, отвергнуты (он называет их фальсифицированными).
2. Теории, о которых ещё не известно, что они неправильны, они ещё не фальсифицированы, но рискуют стать таковыми.

Теория, которая выпадает из этих двух категорий – не является теорией. Теория, которая не предоставляет набор условий, при которых она считалась бы неправильной, должна быть названа шарлатанством. Почему? Потому, что астролог всегда может найти причину приспособиться к прошлому событию, говоря, что Марс был, вероятно, на линии, но не слишком долго 🙂 В самом деле, различие между ньютоновской физикой, которая была фальсифицирована теорией относительности Эйнштейна, и астрологией заключается в следующей иронии. Ньютоновская физика научна потому, что позволяет нам фальсифицировать её, поскольку мы знаем, что она неправильна, в то время как астрология – нет, потому, что она не предлагает условия, при которых мы могли бы отвергнуть её. Астрология не может быть опровергнута, вследствие вспомогательных гипотез, которые входят в игру. Этот пункт находится в основе разграничения между наукой и ерундой.

Для Поппера вопрос знания не так много имеет дело с тем, что мы знаем, как с тем, что мы не знаем. Его знаменитая цитата: Они – люди со смелыми идеями, но высоко критичные к этим, их собственным идеям, они пытаются определить, являются ли их идеи правыми, пробуя сначала определить,  возможно ли, что они не неправильны. Они работают со смелыми догадками и серьезными попытками опровержения своих собственных догадок.

«Они» ­– это ученые. Но они могли быть кем угодно [для нас интересно, если – менеджерами].

Память людей является машиной по производству индуктивных выводов. Задумайтесь о воспоминаниях: что легче вспомнить – набор случайных фактов, слепленных вместе, или историю, некую последовательность логических связей? Причинно-следственные связи легче закрепляются в памяти. В этом случае нашему мозгу приходится проделать меньшую работу для сохранения информации. Ее объем меньше. Это очень удобно, так как общее занимает в памяти гораздо меньше места, чем набор частностей. Вот только в результате такого сжатия сокращается степень наблюдаемой случайности.

Краткий вывод для менеджеров

индукция формирует стереотипы, которыми имеет смысл пользоваться, пока не появился хотя бы один факт, опровергающий первоначальное предположение; когда же такой факт выявлен, вместо того, чтобы упорствовать, и «подгонять» факты под стереотипы, попытайтесь выдвинуть иную гипотезу, объясняющую  как прежние, так и новые факты

Индукция и методы менеджмента качества[6]

Типичные примеры индукции – сводки[7] данных или статистики на основе исходных данных: среднее значение (µ), медиана, стандартное отклонение (σ). Вместо того, чтобы изучать множество значений, мы ограничиваемся лишь небольшим набором статистик (например, µ ± σ). Преимущества очевидны: статистики неплохо описывают выборку значений. Недостатки не так заметны: за средними значениями могут прятаться значительные нежелательные «выбросы».

На индукции основано применение контрольных карт Шухарта: если управляемый процесс ранее был в неких рамках, то и в будущем мы считаем, что с определенной вероятностью он будет в таких же рамках (рис. 1а). С другой стороны, прогноз поведения неуправляемого процесса затруднен (рис. 1б).

Рис. 1. Динамика среднего значения и стандартного отклонения во времени в присутствии общих (а) или специальных (б) причин вариаций.

* * *

Возвращаясь к методу Шерлока Холмса с прискорбием должен сообщить, что [на мой взгляд / в соответствии с моими ментальными моделями :)] он использовал индукцию, а вовсе не дедукцию! Изучая факты, Холмс делал выводы, имеющие вероятностную природу. Виртуозно обнаруживая мельчайшие «зацепки», он выстраивал гипотезы (вряд ли, одну), затем проверял их, и лишь затем, являл миру свое объяснение фактов.

Практические выводы для менеджеров:

а) подавляющее большинство умозаключений [и решений, принимаемых на их основе] имеют индуктивную природу, то есть их истинность не абсолютна, а вероятностна;

б) необходимо отдавать себе отчет, что мир и наши представления о нем – не одно и то же; не сдавайтесь на милость жестким [ограничивающим] ментальным моделям, развивайте их, будьте любознательны;

в) «черный лебедь» [факт, не укладывающийся в господствующую систему] – повод пересмотреть стереотипы, и выдвинуть новые гипотезы, а не «латать» прежние.

---

[1] В этом разделе цитируется учебное пособие А.А.Ивина ЛОГИКА.

[2] В этом разделе используются идеи из Джозеф О’Коннор, Иан Макдермотт «Искусство системного мышления»

[3] На тему «у нас так принято» есть любопытная притча (цитируется с сокращениями по http://www.litvar.ru/a-potomu-chto-zdes-tak-prinyato-eksperiment/):

Возьмём металлическую клетку, к потолку подвесим банан, под бананом поставим стремянку, а в клетку запустим пять обезьян. Наступает момент, когда какой-нибудь обезьяне захочется кушать. Она лезет к банану, но мы с помощью пожарного брандспойта сбиваем её со стремянки ледяной водой, а заодно окатываем и всех остальных. Какое-то время они сидят ошалевшие, но наступает момент, когда томимая голодом обезьяна опять делает попытку добраться до банана. Повторяем процедуру… И так раза три-четыре. Кончается дело тем, что когда беспокойное животное опять пытается подойти к стремянке, остальные четверо его от неё оттаскивают и банально бьют.

Убираем из клетки беспокойную обезьяну и добавляем туда “свежую”. Проходит какое-то время, и она делает попытку добраться до банана. Четыре бдительные обезьяны, оставшиеся с прошлого раза, оттаскивают её и… бьют, хотя на этот раз никого не обливали. Разумеется, бедное животное не может понять за что, поэтому делает ещё одну попытку. Его опять бьют, но уже сильнее. В конечном итоге и эта обезьяна присоединяется к остальным в бездеятельном созерцании еды.

Убираем из клетки ещё одну находившуюся там с самого начала обезьяну и сажаем новую “свежую”. Результат предсказуем – она лезет за бананом, остальные вскакивают, оттаскивают и бьют. При этом с особым зверством бьёт та обезьяна, которую не обливали. Ситуация повторяется n-ное количество раз, где “n” зависит от сообразительности животного. Опять обезьяны просто сидят и смотрят на банан.

Опять вытаскиваем обезьяну из первого “эшелона” и снова добавляем “свежую”…  В итоге получаем ситуацию, когда в клетке сидят пять ни разу не облитых обезьян, но ни одна из них не делает попыток дотянуться до банана. Почему? А потому, что здесь так принято.

[4] А этот раздел написан по мотивам книги Нассима Талеба «Одураченные случайностью».

[5] Если вы имеете отношение к физике, то вполне могли слышать о «Фейнмановских лекциях по физике» – замечательном, очень хорошо написанном курсе.

[6] В этом разделе использованы идеи из книги Д. Уилер, Д. Чамберс «Статистическое управление процессами».

[7] Сводка – представление большого числа исходных данных одним числом.

Шерлок Холмс, метод дедукции и изучение иностранного языка

Главная

Причём здесь гениальный Холмс с его методом дедукции и изучение иностранных языков?

Оказывается, дедукция является самым распространённым способом обучения грамматике. Deducere на латыни означает «выводить из». Учащемуся объясняют правило, иллюстрируют его примерами, а потом на основе данного правила предлагают строить предложения. Это самый простой и быстрый для составителей учебников и преподавателей способ донесения структуры языка до учащегося.

Проблема дедуктивного метода при обучении языку в том, что не будучи подкреплённым необходимым объёмом практики, он приводит к отрыву от живого языка. Начинает преобладать абстрактная «логика предмета», за которой теряется настоящая жизнь.

Поэтому подавляющее большинство учащихся, которые «успешно сдали предмет», оказываются в состоянии вспомнить правило, но у них возникают проблемы с его применением на практике. Также благодаря перевесу дедуктивного метода в обучении языкам, в учебниках и тестах часто попадаются весьма странные выражения, написанные исключительно ради демонстрации того или иного грамматического правила. Странность их заключается в том, что носитель языка никогда в жизни так не скажет.

В противоположность дедукции индукция – inducer – это «вводить в». Это аналитический метод (в то время как дедукция – синтетический), при котором учащемуся приходится наблюдать, анализировать какие-то формы в языке, а затем на основе анализа и наблюдения выводить правила.

Как работает индуктивный метод в обучении?

Величайший из учителей, Сократ никогда не отвечал прямо на вопросы учеников. Вместо этого он задавал вопросы, направлявшие внимание учащегося на существенные стороны явления, о котором тот спрашивал. И с помощью наводящих вопросов подводил ученика к тому, что тот сам находил ответ на свой вопрос.

Песталоцци настаивал на том, что ученику не нужно говорить того, что он может узнать сам.

Не только великие, а просто все хорошие учителя понимают огромную разницу между понятиями обучения и вдалбливания предмета.

Исследования психологов убедительно доказали, что материал, введённый при активном участии учащихся, усваивается ими в десять раз лучше, чем при пассивном участии. Активное участие заключается в возможности самостоятельно обобщать и делать умозаключения.

К сожалению, далеко не все учителя – «Сократы» и «Песталоцци». Кроме того, у большинства преподавателей существует множество дополнительных формальных обязанностей и ограничений. Современный образовательный формат не оставляет ни места, ни времени для творчества и размышлений.

Многие учащиеся также не приучены или уже отвыкли от активного способа получения знаний и хотят получать информацию побыстрее и поконкретнее, как в интернет-поисковике. В отношении изучения языков этот подход не всегда оказывается правильным. Полученные таким путём знания оказываются поверхностными, не стойкими, годными в основном для стандартных ситуаций. Однако, жизнь зачастую оказывается объёмнее и шире рамок, и тогда выученный подобным образом человек теряется в любых неформальных ситуациях.

По-хорошему, индукция и дедукция, анализ и синтез, должны во всяком обучении идти рука об руку. Потому, что наш мозг устроен так, что задействует оба процесса мышления. Было бы неверно говорить о том, что один из этих процессов лучше, а другой – хуже. Плохо, когда нет выбора, когда навязывается лишь один способ.

Как дедукция и индукция реализуются в методе CLP?

Сначала включается индукция. Не в режиме наводящих вопросов, а в виде речевых форм и моделей, которые вы усваиваете. Приучаясь к звучанию и произношению живого языка в связке с русской речью, находя сходства и различия, вы неизбежно начинаете видеть закономерности и задаваться вопросами. И тут стоит начинать пользоваться грамматическим комментарием, который содержит ответы в привычном нам всем дедуктивном ключе. Именно поэтому мы рекомендуем использовать грамматический комментарий программы не в самом начале обучения, а после 1-й части курса, когда у вас уже появится определённый объём речевых моделей, и вопросы придут сами собой.

По мере продвижения в обучении, индуктивные и дедуктивные процессы мышления чередуются совершенно естественным образом. Так, сопоставляя и размышляя, задаваясь вопросами и находя на них ответы, вы развиваете у себя чувство языка, благодаря которому сможете избавиться от столь обременительного перевода с русского на иностранный и обратно.

Как и всякое другое чувство, чувство языка – штука тонкая, его легко забить логикой, раздробить на элементы в надежде, что из них потом соберётся целое. Но логика не является единственным и универсальным способом познания. Отдельные элементы рискуют превратиться в осколки, из которых никак не захочет склеиваться целое. Оттого существует так много людей, отлично знающих правила и выучивших огромный объём слов, но не умеющих всё это применять в реальной жизни.

Именно поэтому метод CLP приглашает в изучаемый язык, начиная с ощущений и целостных образов. И если не подгонять этот процесс искусственно, дать ему развиться, он в конечном счёте приведёт к желанному результату – свободе общения на иностранном языке.

Независимо от метода изучения иностранных языков, которому Вы отдадите предпочтение, постарайтесь дать себе возможность больше искать и думать самому. Пусть Вы тем самым потратите чуть больше времени по сравнению с обычным способом, когда моментально получаете готовые ответы на все свои вопросы. Но в конечном счёте это время окупится: Вы научитесь понимать логику изучаемого языка и начнёте чувствовать его, как это бессознательно делает носитель.

Дедуктивные рассуждения и индуктивные рассуждения

В научном процессе дедуктивное рассуждение используется для достижения логического истинного заключения. Также используется другой тип рассуждений, индуктивный. Часто люди путают дедуктивное рассуждение с индуктивным, и наоборот. Важно знать значение каждого типа рассуждений, чтобы можно было определить правильную логику.

Дедуктивное рассуждение

Дедуктивное рассуждение — это основная форма действительного рассуждения.Согласно Калифорнийскому государственному университету, дедуктивное рассуждение или дедукция начинается с общего утверждения или гипотезы и исследует возможности для достижения конкретного логического вывода. Научный метод использует дедукцию для проверки гипотез и теорий. «В дедуктивном выводе мы придерживаемся теории и на ее основе делаем предсказание ее следствий. То есть мы прогнозируем, какими должны быть наблюдения, если теория верна. Мы переходим от общего — теории — к частному — наблюдения «, — сказал д-р.Сильвия Вассертхайль-Смоллер, исследователь и почетный профессор Медицинского колледжа Альберта Эйнштейна.

Дедуктивное рассуждение обычно следует за шагами. Сначала идет посылка, затем вторая посылка и, наконец, вывод. Распространенной формой дедуктивного мышления является силлогизм, в котором два утверждения — основная посылка и второстепенная посылка — приходят к логическому завершению. Например, за посылкой «Каждый А — это Б» может следовать другая посылка: «Это С — А.». Эти утверждения привели бы к выводу: «Это C есть B.«Силлогизмы считаются хорошим способом проверки дедуктивного мышления, чтобы убедиться, что аргумент верен.

Например,« Все люди смертны. Гарольд — мужчина. Следовательно, Гарольд смертен ». Чтобы дедуктивное рассуждение было правильным, гипотеза должна быть верной. Предполагается, что посылки« Все люди смертны »и« Гарольд — человек »верны. Следовательно, вывод логичен и В дедуктивных рассуждениях, если что-то верно для класса вещей в целом, это также верно для всех членов этого класса.

Согласно Калифорнийскому государственному университету, выводы дедуктивного вывода верны при условии, что посылки верны. Можно прийти к логическому выводу, даже если обобщение неверно. Если обобщение неверно, вывод может быть логичным, но может и неверным. Например, аргумент «Все лысые — деды. Гарольд — лысый. Следовательно, Гарольд — дедушка» логически верен, но неверен, поскольку исходное утверждение ложно.

Индуктивные рассуждения

Индуктивные рассуждения противоположны дедуктивным рассуждениям.Индуктивное рассуждение делает широкие обобщения на основе конкретных наблюдений. В основном данные есть, потом на основании данных делаются выводы. Согласно Университету штата Юта, это называется индуктивной логикой.

«В индуктивном выводе мы переходим от частного к общему. Мы делаем много наблюдений, различаем закономерности, делаем обобщение и делаем вывод об объяснении или теории», — сказал Вассертхайль-Смоллер Live Science. «В науке существует постоянное взаимодействие между индуктивным выводом (основанным на наблюдениях) и дедуктивным выводом (основанным на теории), пока мы не приближаемся все ближе и ближе к« истине », к которой мы можем только приблизиться, но не установить с полной уверенностью.«

Пример индуктивной логики:« Монета, которую я вытащил из сумки, — это пенни. Эта монета — пенни. Третья монета из мешка — пенни. Следовательно, все монеты в сумке — пенни ».

Даже если все предпосылки в утверждении верны, индуктивное рассуждение позволяет сделать вывод ложным. Вот пример:« Гарольд — дедушка. Гарольд лысый. Следовательно, все деды лысые ». Вывод не следует логически из утверждений.

Индуктивное рассуждение имеет свое место в научном методе.Ученые используют его для создания гипотез и теорий. Дедуктивное рассуждение позволяет им применять теории к конкретным ситуациям.

Абдуктивное рассуждение

Другая форма научного рассуждения, которая не сочетается с индуктивным или дедуктивным рассуждением, — это абдуктивное мышление. По словам Батт-колледжа, абдуктивное рассуждение обычно начинается с неполного набора наблюдений и переходит к наиболее вероятному возможному объяснению группы наблюдений. Он основан на создании и проверке гипотез с использованием наилучшей доступной информации.Это часто влечет за собой обоснованное предположение после наблюдения за явлением, которому нет четкого объяснения.

Например, человек заходит в свою гостиную и находит на полу разорванные бумаги. Собака этого человека весь день находится в комнате одна. Человек приходит к выводу, что собака порвала бумаги, потому что это наиболее вероятный сценарий. Так вот, сестра человека могла привезти с собой его племянницу, и она могла порвать бумаги, или это могло быть сделано домовладельцем, но теория собаки является более вероятным выводом.

Абдуктивное мышление полезно для формирования гипотез для проверки. Абдуктивная аргументация часто используется врачами, которые ставят диагноз на основании результатов тестов, и присяжными, которые принимают решения на основе представленных им доказательств.

Дополнительные ресурсы

Дедуктивный метод — обзор

Дедуктивные базы данных и сообщество баз данных

В середине 1980-х годов сообщество баз данных, вдохновленное разработками дедуктивных баз данных, инициировало проекты по разработке систем прототипов и алгоритмов реализации.Первые две группы были ECRC в Европе в 1984 году под руководством Николаса; и MCC в США в 1984 году Цуром и Заниоло. За ними последовали Дж. Ульман и его группа в Стэнфорде в 1985 году. ECRC и MCC были одними из первых неуниверситетских организаций, разработавших прототипы.

Группа Николаса разработала систему DDB EKS — V1 [Vieille et al. , 1990], который включал метод оценки сверху вниз, методы дедуктивной оценки запросов ( QSQ / SLD ) [Vieille, 1986], проверку целостности (Soundcheck), проверку согласованности (SATCHMO) [Manthey and Bry, 1988] , и агрегация через рекурсию.Система была завершена в 1990 году. В начале 1990-х годов Николас и его группа перешли в Groupe Bull. В 1992 году Николя и Вьей возглавили работу по разработке VALIDITY DDB [Friesen et al. , 1996], результат их работы в ECRC. VALIDITY интегрированные объектно-ориентированные функции. VALIDITY продолжала развиваться и продаваться на рынке Калифорнийской корпорацией Next Century Media, Inc.

Цур и Заниоло из MCC разработали систему DDB LDL .Они акцентировали внимание на методах оценки снизу вверх, оценке запросов с использованием полунаивной оценки, магических наборах и подсчете, семантике для стратифицированного отрицания по умолчанию и группировки наборов, наборах ответов и оптимизации порядка соединения. ЛПНП был внедрен в 1988 г. и выпущен в период 1989–1991 гг. [Tsur and Zaniolo, 1986]. Он был одним из первых широко доступных DDB и был распространен среди университетов и компаний-акционеров MCC. Новая система, названная LDL ++, была запущена в 1990 году, которая расширила LDL с помощью мощных немонотонных конструкций, таких как конструкции недетерминированного выбора и XY-стратификация [Zaniolo et al., 1993], которые позже были использованы в Dedalus [Hellerstein, 2010]. Затем проект был продолжен в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, куда Заниоло переехал в 1991 году.

Проект Ульмана, NAIL! (Это не другая реализация логики!) Разработали раннюю систему NAIL, от которой отказались. В обновленной системе использовался базовый язык под названием Glue. Работаем с ГВОЗДЕМ! проект, первая статья о волшебных наборах [Bancilhon et al. , 1986]. Некоторые другие работы этой группы — одна из первых работ по стратифицированному отрицанию дефолта [Van Gelder, 1986]; первая статья о хорошо обоснованной семантике [Van Gelder et al., 1991]; модульная стратификация [Росс, 1990].

Другие представляющие интерес системы дедуктивных баз данных кратко обсуждаются в обзоре 1995 года по дедуктивным базам данных в [Ramakrishnan and Ullman, 1995]. Опрос фокусируется на методах реализации и содержит таблицу, в которой перечислены 15 проектов, которые привели к внедрению систем. Перечисленные системы: Aditi, COL, Concept – Base, CORAL, EKS-VI, Logic – Base, DECLARE, Hy +, X4, LDL / LDL ++, Logres, Glue – Nail, Starburst и XSB, а также следующие функции. каждой системы (ссылки, рекурсия, отрицание по умолчанию, агрегирование, обновления, ограничения, оптимизации, хранилище и интерфейсы).Некоторые системы все еще могут работать. Дополнительную информацию об этих системах см. В [Ramakrishnan and Ullman, 1995]. В настоящее время коммерчески используется только один, XSB.

Индуктивный подход против дедуктивного исследования (с примерами)

Опубликован в 18 апреля 2019 г., по Раймо Стрефкерк. Пересмотрено 11 ноября 2019.

Основное различие между индуктивным и дедуктивным рассуждением состоит в том, что индуктивное рассуждение направлено на развитие теории , в то время как дедуктивное рассуждение направлено на проверку существующей теории .

Индуктивное рассуждение переходит от конкретных наблюдений к широким обобщениям, а дедуктивное рассуждение — наоборот.

Оба подхода используются в различных типах исследований, и нередко их комбинируют в одном большом исследовании.

Индуктивный подход к исследованию

Когда существует мало или совсем нет литературы по теме, обычно проводят индуктивные исследования, потому что нет теории, которую можно было бы проверить. Индуктивный подход состоит из трех этапов:

1. Наблюдение
   • Задерживается рейс лоукостера
   • У собак A и B есть блохи
   • Существование слонов зависит от воды
2. Наблюдать за образцом
   • Еще 20 рейсов лоукостеров задерживаются
   • У всех наблюдаемых собак есть блохи
   • Существование всех наблюдаемых животных зависит от воды
3. Развивайте теорию
   • Бюджетные авиакомпании всегда задерживают
   • У всех собак есть блохи
   • Вся биологическая жизнь зависит от воды

Ограничения индуктивного подхода

Заключение, сделанное на основе индуктивного метода, никогда не может быть доказано, но может быть признано недействительным.

Пример
Вы наблюдаете 1000 рейсов бюджетных авиакомпаний. Все они испытывают задержку, что соответствует вашей теории. Однако вы никогда не сможете доказать, что рейс 1001 также будет задержан. Тем не менее, чем больше ваш набор данных, тем надежнее будет вывод.

Дедуктивный исследовательский подход

При проведении дедуктивного исследования вы всегда начинаете с теории (результат индуктивного исследования). Дедуктивное рассуждение означает проверку этих теорий.Если теории еще нет, дедуктивное исследование проводить нельзя.

Дедуктивный исследовательский подход состоит из четырех этапов:

1. Начать с существующей теории
   • Бюджетные авиакомпании всегда задерживают
   • У всех собак есть блохи
   • Вся биологическая жизнь зависит от воды
2. Сформулируйте гипотезу на основе существующей теории
   • Если пассажиры летят бюджетной авиакомпанией, они всегда будут задерживаться
   • У всех домашних собак в моем многоквартирном доме есть блохи
   • Существование всех наземных млекопитающих зависит от воды
3. Собрать данные для проверки гипотезы
   • Сбор данных о рейсах бюджетных авиакомпаний
   • Проверить всех собак в здании на блох
   • Изучить все виды наземных млекопитающих, чтобы узнать, зависят ли они от воды
4. Проанализируйте результаты: данные отвергают или поддерживают гипотезу?
   • 5 из 100 рейсов лоукостеров не задерживаются = отклонить гипотезу
   • У 10 из 20 собак не было блох = отклонить гипотезу
   • Все виды наземных млекопитающих зависят от воды = поддержка гипотезы

Ограничения дедуктивного подхода

Выводы дедуктивного рассуждения могут быть верными только в том случае, если все предпосылки, установленные в индуктивном исследовании, верны и термины ясны.

Пример

• У всех собак блохи (помещение)
• Бенно собака (помещение)
• У Бенно блохи (заключение)

Вывод должен быть верным, исходя из имеющихся у нас посылок. Однако, если первая посылка окажется ложной, нельзя полагаться на вывод о том, что у Бенно блохи.

Сочетание индуктивных и дедуктивных исследований

Многие ученые, проводящие более крупный исследовательский проект, начинают с индуктивного исследования (разработки теории).После индуктивного исследования проводится дедуктивное исследование для подтверждения или опровержения вывода.

В приведенных выше примерах вывод (теория) индуктивного исследования также используется в качестве отправной точки для дедуктивного исследования.

Насколько полезна эта статья?

2332 281

Вы уже проголосовали.Спасибо 🙂 Ваш голос сохранен 🙂 Обработка вашего голоса …

Дедуктивный подход (дедуктивное рассуждение) — Методология исследования

Дедуктивный подход связан с «разработкой гипотезы (или гипотез) на основе существующей теории, а затем разработкой стратегии исследования для проверки гипотезы» [1]

Было сказано, что «дедуктивное мышление означает рассуждение от частного к общему. Если причинно-следственная связь или связь предполагаются конкретной теорией или конкретным примером, во многих случаях это может быть правдой.Дедуктивный дизайн может проверить, действительно ли эта связь или связь сложились при более общих обстоятельствах »[2].

Дедуктивный подход можно объяснить с помощью гипотез, которые могут быть выведены из положений теории. Другими словами, дедуктивный подход связан с выводом выводов из предпосылок или предложений.

Дедукция начинается с ожидаемого паттерна, «который проверяется на основе наблюдений, тогда как индукция начинается с наблюдений и пытается найти паттерн в них» [3].

Преимущества дедуктивного подхода

Дедуктивный подход дает следующие преимущества:

1. Возможность объяснения причинно-следственных связей между концепциями и переменными
2. Возможность количественного измерения концептов
3. Возможность до определенной степени обобщить результаты исследований

Альтернативой дедуктивному подходу является индуктивный подход. В таблице ниже представлен выбор конкретного подхода в зависимости от обстоятельств:

	Дедуктивный подход предпочтителен	Предпочтительно индуктивный подход
Литература	Обилие источников	Недостаток источников
Наличие времени	Короткое время для завершения исследования	Нет недостатка во времени для участия в исследовании
Риск	Чтобы избежать риска	Риск принят, никакая теория не может возникнуть вообще

Выбор между дедуктивным и индуктивным подходами

Дедуктивный исследовательский подход исследует известную теорию или явление и проверяет, верна ли эта теория в данных обстоятельствах.Было отмечено, что «дедуктивный подход наиболее точно следует пути логики. Рассуждения начинаются с теории и приводят к новой гипотезе. Эта гипотеза подвергается проверке путем сопоставления ее с наблюдениями, которые либо приводят к подтверждению, либо к отклонению гипотезы »[4].

Более того, дедуктивное рассуждение можно объяснить как «рассуждение от общего к частному» [5], тогда как индуктивное рассуждение — наоборот. Другими словами, дедуктивный подход предполагает формулирование гипотез и их проверку в процессе исследования, в то время как индуктивные исследования никак не связаны с гипотезами.

Применение дедуктивного подхода (дедуктивного мышления) в бизнес-исследованиях

В исследованиях с дедуктивным подходом исследователь формулирует набор гипотез в начале исследования. Затем выбираются соответствующие методы исследования, которые применяются для проверки гипотез, чтобы доказать их правильность или неправильность.

Как правило, исследования с использованием дедуктивного подхода проходят в следующие этапы:

1. Вывод гипотезы из теории.
2. Формулировка гипотезы в операционных терминах и предложение взаимосвязей между двумя конкретными переменными
3. Проверка гипотезы с применением соответствующих методов. Это количественные методы, такие как регрессионный и корреляционный анализ, среднее значение, мода и медиана и другие.
4. Изучение результата теста и, таким образом, подтверждение или отклонение теории. При анализе результатов тестов важно сравнивать результаты исследований с результатами обзора литературы.
5. Модификация теории в случаях, когда гипотеза не подтверждается.

Моя электронная книга «Полное руководство по написанию диссертации по бизнес-исследованиям: пошаговая помощь» содержит обсуждения теории и применения исследовательских подходов. Электронная книга также объясняет все этапы исследовательского процесса, начиная с выбора области исследования и заканчивая написанием личных размышлений. В этой электронной книге простыми словами объясняются важные элементы диссертаций, такие как философия исследования, план исследования , методы сбора данных, анализ данных и выборка .

Джон Дудовский

[1] Уилсон, Дж. (2010) «Основы бизнес-исследований: руководство по выполнению исследовательского проекта» Публикации SAGE, стр.7

[2] Гулати П.М., 2009 г., Управление исследованиями: фундаментальные и прикладные исследования, Global India Publications, стр. 42

[3] Бэбби, Э. Р. (2010) «Практика социальных исследований» Cengage Learning, стр. 52

[4] Снайдер Р. и Ларнер К. (2009) «Искусство быть ученым: руководство для аспирантов и их наставников», Cambridge University Press, стр.16

[5] Пелисье, Р. (2008) «Бизнес-исследования стали проще», Джута и Ко., Стр. 3

Дедуктивное рассуждение: определение и примеры

Есть много умственных инструментов, которые мы можем использовать и улучшить, чтобы принимать важные решения на работе. Рассуждение часто возникает естественным образом и включает индуктивный, дедуктивный и абдуктивный методы. В этой статье мы определим, что такое дедуктивное мышление и как вы можете использовать его в профессиональных целях.

Связанные: Индуктивные vs.Дедуктивное рассуждение

Что такое дедуктивное рассуждение?

Дедуктивное рассуждение — это процесс вывода на основе предположений, которые обычно считаются истинными. Этот акт, также называемый «дедуктивной логикой», использует логическую предпосылку для достижения логического заключения. Дедуктивное рассуждение часто называют «рассуждением сверху вниз». Если что-то предполагается истинным, а другое относится к первому предположению, то первоначальная истина также должна быть верной и для второго.

Например, если багажник автомобиля большой, а велосипед в него не помещается, можно предположить, что велосипед тоже должен быть большим. Мы знаем это, потому что нам уже была предоставлена ​​информация, которую мы считаем правдивой — ствол большой. Основываясь на наших навыках дедуктивного мышления, мы знаем, что если велосипед не помещается в уже большой багажник, то он также должен быть большим. Пока эти две посылки основаны на точной информации, результат такого заключения часто бывает верным.

Связано: Как улучшить свои навыки дедуктивного мышления (с примерами и советами)

Силлогизм дедуктивное рассуждение

Одним из наиболее распространенных типов дедуктивного мышления является силлогизм.Силлогизм относится к двум утверждениям — большому и второстепенному — соединяются, чтобы сформировать логический вывод. Два точных утверждения означают, что утверждение, вероятно, будет верным для всех дополнительных предпосылок этой категории.

Надежность дедуктивного мышления

Хотя дедуктивное рассуждение считается надежной формой тестирования, важно понимать, что оно иногда может приводить к ложным выводам. Обычно это происходит, когда одно из первых предполагаемых утверждений ложно.Также возможно прийти к точному выводу, даже если одна или обе обобщенные посылки ложны.

Описание изображения

Индуктивное против дедуктивного:
Индуктивное рассуждение — это акт создания обобщенных выводов, основанных на конкретных сценариях.
Дедуктивное рассуждение — это акт подкрепления обобщенного утверждения конкретными сценариями.

Примеры дедуктивного рассуждения

Вот несколько примеров, которые помогут вам лучше понять дедуктивное рассуждение:

• В моем штате все юристы должны проходить практику.Если я не пройду планку, я не смогу кого-то представлять на законных основаниях.
• Мой начальник сказал, что человек с самыми высокими продажами получит повышение в конце года. У меня самые высокие продажи, поэтому я с нетерпением жду повышения.
• Наши самые большие продажи поступают от руководителей, которые живут в штате нашей компании. Основываясь на этой информации, мы решили выделить больше наших маркетинговых долларов на руководителей в этом штате.
• Один из наших клиентов недоволен своим опытом.Ему не нравится, сколько времени занимает ответный телефонный звонок. Поэтому, если мы дадим более быстрый ответ, он будет более доволен.
• Я должен получить 40 кредитов, чтобы закончить школу этой весной. Поскольку у меня всего 38 зачетных единиц, я не буду выпускать школу этой весной.
• Центр профориентации в моем колледже предлагает студентам бесплатные обзоры резюме. Я студент и планирую проверить свое резюме, поэтому мне не придется ничего платить за эту услугу.

Каждое из этих утверждений включает две точные части информации и предположение, основанное на первых двух частях информации. Если первые две части информации верны, предположение также должно быть верным.

Процесс дедуктивного мышления

Понимание процесса дедуктивного мышления может помочь вам применить логику для решения задач в вашей работе.

Дедуктивное мышление использует только ту информацию, которая считается точной.Он не включает эмоции, чувства или предположения без доказательств, потому что трудно определить точность этой информации.

Процесс дедуктивного рассуждения включает следующие шаги:

1. Исходное предположение. Дедуктивное рассуждение начинается с предположения. Это предположение обычно является обобщенным утверждением, что если что-то верно, то оно должно быть истинным во всех случаях.
2. Второе помещение. Вторая предпосылка связана с первым предположением.Если первое утверждение истинно, то второе связанное утверждение также должно быть истинным.
3. Тестирование. Затем дедуктивное предположение проверяется в различных сценариях.
4. Заключение. По результатам проверки информация определена как действительная или недействительная.

Когда использовать дедуктивное рассуждение

Есть много способов использовать дедуктивное рассуждение для принятия решений в своей профессиональной жизни. Вот несколько способов, которыми вы можете использовать этот процесс, чтобы делать выводы на протяжении всей вашей карьеры:

Связанные: лучшие способы укрепить свои навыки логического мышления

Использование дедуктивного мышления на рабочем месте

Обучение применению существующего дедуктивного мышления навыки в процессе принятия решений помогут вам делать более осознанный выбор на рабочем месте.Вы можете использовать дедуктивное рассуждение при поиске и получении работы, найме сотрудников, управлении сотрудниками, работе с клиентами и принятии различных деловых или карьерных решений.

Дедуктивное мышление на рабочем месте требует следующих навыков:

Решение проблем

Многие роли требуют, чтобы вы использовали навыки решения проблем, чтобы преодолевать проблемы и находить надежные решения. Вы можете применить дедуктивный процесс рассуждений к своим усилиям по решению проблем, сначала определив точное предположение, которое вы можете использовать в качестве основы для своего решения.Дедуктивные рассуждения часто приводят к меньшему количеству ошибок, поскольку сокращают количество догадок.

Работа в команде

Многие организации ожидают, что сотрудники будут работать вместе в командах для достижения результатов. Команды часто состоят из сотрудников с разными стилями работы, что может затруднить совместную работу и снизить производительность. Используя процесс дедуктивного мышления, вы можете определить, в чем заключается проблема, сделать точные выводы и помочь членам команды согласоваться.

Служба поддержки клиентов

Навыки дедуктивного мышления можно также применить к работе с клиентами.Используя этот процесс, вы можете найти подходящее решение проблемы клиента. Выявив, чем недоволен клиент, и затем связав это с тем, что вы знаете об их опыте, вы сможете адекватно решить его проблему и повысить уровень удовлетворенности клиентов.

Подчеркните свои навыки дедуктивного мышления при поиске работы

Хотя дедуктивное рассуждение часто используется в исследовательской и научной отраслях, его также можно применять практически на любой должности, где вам нужно принимать важные решения или решать сложные задачи.Поскольку многие работодатели ценят умение решать проблемы, полезно подчеркнуть ваши дедуктивные навыки во время процесса найма.

Вы можете продемонстрировать свое знание дедуктивного мышления, указав его в качестве навыка в своем резюме или поделившись им в сопроводительном письме. Во время собеседований обсудите примеры того, как вы используете дедуктивное мышление в своей нынешней должности или как вы примените этот навык на новой должности.

Использование дедуктивного мышления с методом STAR

Использование метода STAR-интервью — прекрасная возможность продемонстрировать сценарий, в котором вы использовали дедуктивное рассуждение в профессиональной среде.

Методика STAR включает в себя следующие части:

• Ситуация. Обсудите ситуацию, в которой вы применили этот навык логического мышления. Включите подробную информацию о проблеме и вашей рабочей среде.
• Задача. Обсудите проблему, с которой вы столкнулись с выдвинутой вами гипотезой, и включите процесс, который вы использовали для определения правильности предпосылок.
• Действие. Выделите конкретные действия, которые вы использовали для решения проблемы.
• Результат. Поделитесь конкретным исходом ситуации. Например, смогли ли вы решить проблему клиента или предотвратить дорогостоящую ошибку организации?

Использование техники STAR заранее может помочь вам подготовиться к предстоящему собеседованию. Это также может помочь вам найти способы включить примеры дедуктивного мышления, а также продемонстрировать свои навыки решения проблем.

Дедуктивное рассуждение — полезный метод для достижения выводов, таких как решение проблемы или преодоление проблемы.Научившись укреплять этот набор навыков, вы сможете произвести впечатление на работодателей на протяжении всего поиска работы и улучшить свою производительность на работе.

Другие типы рассуждений

Есть два других основных процесса рассуждений, которые могут быть полезны в определенных ситуациях:

Что такое индуктивные рассуждения?

Индуктивное рассуждение противоположно дедуктивному рассуждению. В этом процессе вы собираете обобщенную информацию из конкретных сценариев, чтобы прийти к заключению, вместо того, чтобы делать конкретные предположения из обобщенных сценариев.

Индуктивные рассуждения часто используются для создания гипотез, а не для их применения в различных сценариях. При индуктивных рассуждениях точность результата вероятна, но не всегда верна, даже если каждое из первых двух утверждений является точным.

Вот несколько примеров индуктивного мышления:

• Все менеджеры в моем офисе имеют высшее образование. Следовательно, чтобы стать менеджером, вы должны иметь высшее образование.
• Мой босс сказал, что кто-то получит повышение в конце года.Мои продажи были самыми высокими в команде. Я, должно быть, получаю прибавку.
• Обычно я ухожу с работы после 18:00. и я обычно могу избежать движения. Если я уйду с работы после 18:00, я всегда буду пропускать пробки.
• Мой босс снисходителен и не заботится, когда я опаздываю. Я каждый день опаздываю в офис. Поэтому меня никогда не ругают за опоздание на работу.

Каждое из этих утверждений может подразумевать, что последняя посылка верна.Однако также возможно, что первое предположение (я) не имеет реальных оснований, что означает, что вывод также может быть ложным.

Что такое абдуктивное мышление?

Абдуктивное мышление использует всю доступную информацию, даже если она неполная, для определения наиболее вероятного результата или обоснованного предположения. Хотя он использует самую лучшую доступную на данный момент информацию, ее обычно недостаточно, чтобы сделать полностью обоснованный и определенный вывод. При использовании абдуктивных рассуждений также возможно, что заключение не может быть проверено.

6.3 Индуктивное и дедуктивное рассуждение — Научное исследование в области социальной работы

Цели обучения

• Опишите индуктивный подход к исследованию и приведите примеры индуктивного исследования
• Опишите дедуктивный подход к исследованию и приведите примеры дедуктивного исследования
• Опишите способы, которыми индуктивный и дедуктивный подходы могут дополнять друг друга

Теория структурирует и поддерживает исследования в области социальной работы.И наоборот, социальная работа структурирует и информирует теорию. Студенты осознают взаимную связь между теорией и исследованием, когда они рассматривают отношения между ними в индуктивном и дедуктивном подходах. В обоих случаях теория имеет решающее значение, но отношения между теорией и исследованием различаются для каждого подхода.

Индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию совершенно разные, но они также могут дополнять друг друга. Давайте начнем с рассмотрения каждого из них и того, чем они отличаются друг от друга.Затем мы перейдем к размышлениям о том, как они дополняют друг друга.

Когда исследователь использует индуктивный подход , он начинает со сбора данных, имеющих отношение к интересующей их теме. Как только будет собран значительный объем данных, исследователь сделает перерыв в сборе данных, чтобы сделать шаг назад и посмотреть на свои данные с высоты птичьего полета. На этом этапе исследователь ищет закономерности в данных, работая над разработкой теории, которая могла бы объяснить эти закономерности.Таким образом, когда исследователи применяют индуктивный подход, они начинают с набора наблюдений, а затем переходят от этих конкретных переживаний к более общему набору предположений об этих переживаниях. Другими словами, они переходят от данных к теории или от частного к общему. На рисунке 6.1 показаны этапы индуктивного подхода к исследованию.

Рис. 6.1. Индуктивное исследование

Есть много хороших примеров индуктивного исследования, но мы рассмотрим лишь некоторые из них.Одно интересное исследование, в котором исследователи использовали индуктивный подход, — это исследование Кэтрин Аллен, Кристин Кестл и Эбби Голдберг (2011) о том, как мальчики и молодые мужчины узнают о менструации. Чтобы понять этот процесс, Аллен и ее коллеги проанализировали письменные рассказы 23 молодых людей, в которых мужчины описали, как они узнали о менструации, что они думали о ней, когда впервые узнали о ней, и что они думают о ней сейчас. Путем поиска закономерностей во всех рассказах 23 мужчин исследователи смогли разработать общую теорию того, как мальчики и юноши узнают об этом аспекте биологии девочек и женщин.Они пришли к выводу, что сестры играют важную роль в раннем понимании менструации мальчиками, что менструация заставляет мальчиков чувствовать себя в некоторой степени отделенными от девочек и что по мере того, как они вступают в юную взрослую жизнь и формируют романтические отношения, молодые мужчины развивают более зрелое отношение к менструации. Обратите внимание, как это исследование началось с данных — рассказов мужчин об изучении менструации — и как попытка разработать теорию.

В другом индуктивном исследовании Кристин Фергюсон и его коллеги (Ferguson, Kim, & McCoy, 2011) проанализировали эмпирические данные, чтобы лучше понять, как лучше всего удовлетворить потребности молодых людей, испытывающих бездомность.Авторы проанализировали данные фокус-групп из 20 молодых людей в приюте для бездомных. На основе этих данных они разработали ряд рекомендаций для тех, кто заинтересован в практических мероприятиях, направленных на помощь молодежи, испытывающей бездомность. Исследователи также разработали гипотезы для людей, которые могли бы пожелать провести дальнейшее исследование этой темы. Хотя Фергюсон и ее коллеги не проверяли гипотезы, которые они разработали на основе своего анализа, их исследование заканчивается там, где начинается большинство дедуктивных исследований: теория и гипотеза, вытекающая из этой теории.

Исследователи, применяющие дедуктивный подход , начнут с убедительной социальной теории, а затем проверит ее значение на данных. Другими словами, они используют те же шаги, что и индуктивные исследования, но они меняют порядок, переходя от общих уровней к более конкретным. Дедуктивный исследовательский подход больше всего связан с научным исследованием. Исследователь изучает то, что сделали другие, читает существующие теории любого изучаемого явления, а затем проверяет гипотезы, вытекающие из этих теорий.На рис. 6.2 показаны этапы дедуктивного подхода к исследованию.

Рис. 6.2 Дедуктивное исследование

Хотя не все исследователи социальных наук используют дедуктивный подход, есть несколько прекрасных недавних примеров дедуктивного исследования. Далее мы рассмотрим парочку из них.

В исследовании реакции правоохранительных органов США на преступления на почве ненависти Райан Кинг и его коллеги (King, Messner, & Baller, 2009) выдвинули гипотезу о том, что ответные меры правоохранительных органов будут менее энергичными в тех регионах страны, где ранее было более сильное насилие на расовой почве.Авторы разработали свою гипотезу, прочитав предыдущие исследования и теории по этой теме. Они проверили эту гипотезу, проанализировав данные об истории линчевания в штатах и ​​ответных мерах на преступления на почве ненависти. В целом авторы нашли поддержку своей гипотезы. Можно связать это исследование с критической теорией.

В другом недавнем дедуктивном исследовании Мелисса Милки и Кэтрин Уорнер (2011) изучали влияние различных условий в классе на психическое здоровье первоклассников. Основываясь на предшествующих исследованиях и теории, Милки и Уорнер выдвинули гипотезу о том, что отрицательные черты классной комнаты, такие как отсутствие основных предметов снабжения и даже тепла, будут связаны с эмоциональными и поведенческими проблемами у детей.Можно связать это исследование с теорией систем. Исследователи нашли поддержку своей гипотезы, продемонстрировав, что политикам следует более внимательно относиться к результатам школьного обучения детей в отношении психического здоровья, точно так же, как они отслеживают академические результаты (American Sociological Association, 2011).

Хотя индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию кажутся совершенно разными, они могут дополнять друг друга. В некоторых случаях исследователи планируют включить в свое исследование несколько компонентов, один индуктивный, а другой дедуктивный.В других случаях исследователь может начать свое исследование, планируя использовать только один подход, но затем по ходу обнаружить, что другой подход необходим, чтобы помочь пролить свет на результаты. Вот пример каждого такого случая.

Первоначальный автор учебника, на основе которого был адаптирован этот учебник, доктор Эми Блэкстоун, рассказывает историю о своем совместном исследовании сексуальных домогательств.

Мы начали исследование, зная, что хотели бы использовать как дедуктивный, так и индуктивный подход в нашей работе.Поэтому мы провели количественный опрос, ответы на который мы могли проанализировать, чтобы проверить гипотезы, а также провели качественные интервью с рядом участников опроса. Данные опроса хорошо подходят для дедуктивного подхода; мы могли проанализировать эти данные, чтобы проверить гипотезы, основанные на теориях преследования. Данные интервью хорошо подходят для индуктивного подхода; мы искали закономерности в ходе интервью, а затем пытались разобраться в этих закономерностях, теоретизируя о них.

В одной статье (Uggen & Blackstone, 2004) мы начали с известной феминистской теории сексуального домогательства к взрослым женщинам и разработали ряд гипотез, в которых излагаются наши ожидания применения этой теории в случае сексуальных домогательств молодых женщин и мужчин. . Затем мы проверили наши гипотезы, проанализировав данные опроса. В целом мы нашли поддержку теории, согласно которой нынешняя гендерная система, в которой гетеронормативные мужчины обладают наибольшей властью на рабочем месте, объясняет сексуальные домогательства на рабочем месте — не только взрослых женщин, но и молодых женщин и мужчин.В более поздней статье (Blackstone, Houle, & Uggen, 2006) мы не выдвигали гипотез о том, что мы могли бы найти, а вместо этого индуктивно анализировали данные интервью, ища закономерности, которые могут что-то сказать нам о том, как меняется восприятие сотрудниками домогательств. по мере того, как они стареют и приобретают опыт работы. На основе этого анализа мы определили, что представления работников о домогательствах действительно изменились по мере того, как они приобрели опыт, и что их более поздние определения домогательств были более строгими, чем те, которых они придерживались в подростковом возрасте.В целом, наше желание полностью понять опыт преследований молодых работников — с точки зрения их объективного опыта на рабочем месте, их восприятия этого опыта и их историй о своем опыте — привело нас к применению как дедуктивного, так и индуктивного подходов в работе. (Blackstone, н.д., стр.21)

Исследователи могут не использовать оба подхода в своей работе, но иногда использование одного подхода приводит их к другому. Один из таких примеров красноречиво описан в книге Рассела Шутта Investigating the Social World (2006).Как описывает Шутт, исследователи Лоуренс Шерман и Ричард Берк (1984) провели эксперимент, чтобы проверить две конкурирующие теории о влиянии наказания на сдерживание отклонений (в данном случае домашнего насилия). В частности, Шерман и Берк выдвинули гипотезу, что сдерживание теория обеспечит лучшее объяснение последствий ареста обвиняемых обидчиков, чем теория навешивания ярлыков . Теория сдерживания предсказывает, что арест обвиняемого в насилии супруга на сократит случаев насилия в будущем.И наоборот, теория навешивания ярлыков предсказывает, что аресты обвиняемых в насилии супругов увеличат инцидентов на в будущем. Рисунок 6.3 суммирует две конкурирующие теории и прогнозы, которые Шерман и Берк намеревались проверить.

Рис. 6.3. Прогнозирование последствий ареста для избиения будущего супруга

После проведения эксперимента с помощью местной полиции Шерман и Берк обнаружили, что арест действительно предотвращал случаи насилия в будущем, тем самым подтверждая свою гипотезу о том, что теория сдерживания лучше предсказывает эффект арестовать.После проведения этого исследования они и другие исследователи продолжили аналогичные эксперименты еще в шести городах (Берк, Кэмпбелл, Клап и Вестерн, 1992; Пейт и Гамильтон, 1992; Шерман и Смит, 1992). Последующие исследования дали неоднозначные результаты. В некоторых случаях арест предотвращал будущие инциденты насилия, в то время как в других случаях арест — нет. Эти результаты оставили исследователям новые данные, которые им нужно было объяснить, поэтому они использовали индуктивный подход, чтобы разобраться в своих последних эмпирических наблюдениях.Новые исследования показали, что арест имеет сдерживающий эффект на лиц, состоящих в браке и работающих, в то время как арест может способствовать дальнейшим нападениям на лиц, которые не состоят в браке и не имеют работы. Таким образом, исследователи обратились к теории контроля, чтобы объяснить свои наблюдения, поскольку она предсказывает, что ставки на конформизм развиваются через социальные связи, такие как брак и занятость.

Рисунок 6.4. Прогнозирование последствий ареста для будущих побоев супруга: новая теория

Исследование Шермана и Берка и связанные с ним последующие исследования демонстрируют, что исследователи могут начать с дедуктивного подхода и перейти к индуктивному подходу, когда сталкиваются с новыми данными, которые необходимо объяснить.

Основные выводы

• Индуктивный подход начинается с набора эмпирических наблюдений, поиска закономерностей в этих наблюдениях, а затем теоретического обоснования этих закономерностей.
• Дедуктивный подход начинается с теории, разработки гипотез на основе этой теории, а затем сбора и анализа данных для проверки этих гипотез.
• Индуктивный и дедуктивный подходы к исследованию могут использоваться вместе для более полного понимания темы, которую изучает исследователь.
• Хотя исследователи не всегда стремятся использовать в своей работе как индуктивную, так и дедуктивную стратегии, иногда они обнаруживают, что в ходе исследования возникают новые вопросы, на которые лучше всего можно ответить, используя оба подхода.

Глоссарий

Дедуктивный подход — когда исследователь изучает то, что сделали другие, читает существующие теории любого изучаемого явления, а затем проверяет гипотезы, вытекающие из этих теорий

Индуктивный подход — когда исследователь начинает с набора наблюдений, а затем переходит от конкретного опыта к более общему набору предположений по поводу этого опыта

недедуктивных методов в математике (Стэнфордская энциклопедия философии)

Философские взгляды на онтологию математики лежат в основе гамма от платонизма (математика — это область абстрактных предметы), к художественной литературе (математика — это художественная литература, предмет которой материи не существует), формализму (математические утверждения бессмысленные строки, манипулируемые в соответствии с формальными правилами), без консенсус относительно того, какой из них правильный.Напротив, кажется справедливым сказать что существует философски установленный общепринятый взгляд на основные методология математики. Грубо говоря, математики стремятся доказывать математические утверждения различного рода, и это доказательство состоит из логический вывод данного утверждения из аксиом. У этого взгляда есть долгая история; так Декарт пишет в своих правилах направления разума (1627–28), что математическое предложение должно быть «выведенными из истинных и известных принципов с помощью непрерывных и непрерывное действие разума, который имеет четкое видение каждого шага в процесс »(47).Важным следствием этой точки зрения является то, что в математике нет места, по крайней мере в идеале, для недедуктивного методы. Фреге, например, утверждает, что «это в природе математика всегда предпочитает доказательство там, где оно возможно, любому подтверждение индукцией »(1884, 2). Берри (2016) предлагает больше недавняя защита доказательств как продвижение ключевых достоинств совместного исследования в математическом сообществе.

В философской литературе, пожалуй, самый известный вызов это общепринятое мнение исходило от Имре Лакатоша в его влиятельном (опубликовано посмертно) Книга 1976 г., Доказательств и Опровержения :

Евклидова методология выработала определенный обязательный стиль презентация.Я буду называть это «дедуктивистским» стиль’. Этот стиль начинается с тщательно составленного списка аксиомы, леммы и / или определения . Аксиомы и определения часто выглядят искусственно и загадочно сложными. Никогда не рассказывается, как возникли эти осложнения. Список аксиом и определениям следуют тщательно сформулированные теоремы . Они загружены тяжелыми условиями; кажется невозможным, что кто-нибудь должен был когда-нибудь их догадаться. За теоремой следует пруф .

В дедуктивистском стиле все утверждения верны и все выводы действительный. Математика представлена ​​как постоянно увеличивающийся набор вечных, непреложные истины.

Дедуктивистский стиль скрывает борьбу, прячет авантюру. Целый история исчезает, последовательные предварительные формулировки теоремы в ходе процедуры доказательства обречены на забвение, в то время как конечный результат превозносится до священной непогрешимости (Lakatos 1976, 142).

Прежде чем продолжить, стоит сделать несколько различий в чтобы сфокусировать темы последующего обсуждения.

1.1 Открытие против оправдания

Широкое утверждение, что существуют некоторые недедуктивные аспекты Mathematical Activity кажется относительно бесспорным. Для это просто означает утверждение, что не все, что математики делают, когда они занимаются математикой, заключающейся в выводе заявления из других заявлений. Как выразился Джеймс Франклин:

Математика не может состоять только из домыслов, опровержений и доказательства. Кто угодно может строить догадки, но какие из них заслуживают внимания? расследование? … Что может быть доказано методом в репертуар математика? … Что вряд ли дать ответ до следующего пересмотра срока полномочий? Математик должен ответить на эти вопросы, чтобы выделить свое время и усилия.(Франклин 1987, 2)

Один из способов сузить общее утверждение, чтобы сделать его более существенным использовать знакомые (хотя и не совсем беспроблемные) различие между «контекстом открытия» и «Контекст оправдания». С одной стороны, это различие может позволить традиционному дедуктивистскому взгляду быть несмотря на критику Лакатоша, утверждая, что то, на что указывает Лакатос, касается контекста открытия в математика. В контексте обоснования вывод результаты из аксиом все еще могут быть правильной и полной историей.Некоторые реакции математиков на взгляды Лакатоша персонажа, например, следующее замечание Морриса Клайна в письмо, написанное Лакатошу:

Я считаю, что нам нужно гораздо больше литературы, подчеркивающей это открытие. сторона математики. Все акценты, как вы знаете и подразумеваете, о дедуктивной структуре математики и производит впечатление студентам заключается в том, что они делают новые выводы из старых единицы. ^[1]

Также в произведении можно найти отрывки по схожим направлениям. Полиа, который оказал большое влияние на Лакатоша:

Изучая методы решения задач , мы воспринимаем другое лицо математики.Да, у математики два лица; это Строгая наука Евклида, но это еще и нечто другое. Математика представленный евклидовым способом, появляется как систематический, дедуктивный наука, но математика в процессе создания кажется экспериментальный , индуктивная наука. (Pólya 1945, vii) [курсив в оригинале]

И наоборот, чтобы бросить вызов знакомым дедуктивистской позиции, встречный иск должен быть недедуктивным методы играют роль в обосновании математических результаты (Paseau 2015).Следовательно, это будет в первую очередь оправдательным контексты, на которых будет сосредоточено внимание в оставшейся части этого опрос. ^[2]

1.2 Учет и формализация

Здесь не место для подробного анализа дедукции. Для для настоящих целей, это понятие будет считаться справедливым прямолинейно, по крайней мере, в принципе. Дедукция — это любая последовательность утверждения, каждое из которых является производным от некоторого начального набора утверждения (посылки) или из предыдущего утверждения в последовательности.Тем не менее, один вопрос, который необходимо решить, — это отношения между дедукцией и формализацией (см., например, Azzouni 2013).

Аргумент может быть дедуктивным, но не формальным. Хотя парадигмальные случаи дедукции, как правило, встречаются в сильно формализованных систем, в этом нет необходимости. «Все четные числа больше 2 составные; 1058 больше 2; 1058 — четное; следовательно, 1058 — это композит »- отличный вывод, несмотря на то, что формализованный. Следовательно, вопреки тому, что иногда предполагается в обсуждение этих вопросов, неверно, что все неформальные аспекты математической практики , следовательно, недедуктивных.

С другой стороны, развитие формальной логики было пристально связаны с предоставлением ясного языка для презентации (и оценивая) дедуктивные математические рассуждения. Действительно, как сказал Джон Берджесс утверждает в его (1992), современная классическая логика в значительной степени развивалась как основа для математических рассуждений, особенно доказательства. Увеличение строгость в математике в течение 19 ^-го века правильно рассматривать как причину, а не следствие логической революции началось с работы Фреге.Логика, по мнению Берджесса, описательный: его цель — построение математических моделей рассуждения. Классическая логика представляет собой идеализированное описание классическое математическое доказательство.

Также может быть важно различать неформальных элементов данное математическое доказательство из неформализуемых элементов (если есть такие вещи). ^[3] В разделе 4 этот вопрос будет рассмотрен в связи с использованием диаграмм в математических рассуждениях.

1.3 Дедуктивизм и фонды

Помимо развития формальной логики, еще один аспект дедуктивизм — это его упор на «основы». Причина для этого переход от аксиом к теореме прямолинейно, в принципе, поскольку это вопрос логики вывод. На самом деле нет ничего чисто математического. участвует в этом переходе. Следовательно, внимание переключается на отправная точка дедуктивного процесса, а именно аксиомы. И если эти аксиомы сами по себе являются теоремами какой-то более базовой теории, тогда это стремление к безопасной отправной точке может быть продолжено через иерархия все более фундаментальных математических теорий.

Бесспорно, что проблемы в основах математики был центральным предметом заботы философов математики через большая часть 20 ^-го вв. Это, конечно, не потому, что фундаментальные области, такие как теория множеств, — единственные области математика, где философы думают, что дедукция имеет место, но скорее потому, что, как указывалось выше, упор на дедукцию уделяет особое внимание отправным пунктам доказательств. Даже те сочувствие к этому вниманию к основополагающим вопросам, скорее всего, признать, что многие области математической практики тем самым игнорируется.Вопрос в том, что из философских интерес теряется в процессе.

2.1 Аспекты неформальности

2.1.1 Полуформальные доказательства

Как упоминалось в п. 1.2 выше, одной из особенностей дедуктивистского стиля является что парадигматические математические доказательства полностью выражены в некоторых соответствующий формальный язык (например, логика предикатов первого порядка с удостоверением). Это позволяет проверить достоверность данного доказательства. легко, даже механически, установить. Но, конечно, немногие, если таковые имеются, доказательств, распространенных и опубликованных математиками, форма.То, что считается доказательством для работающих математиков, варьируется от от полностью неформального до подробного и точного, с каждым (или почти все) пробелы заполнены. Однако даже подробные и точные доказательства редко выражаются чисто на языке логики; скорее они смесь обычного языка, математических и логических символов и терминология.

Иногда философы, пишущие в рамках дедуктивистской традиции, делают это звучит так, как будто это довольно банальный вопрос; это просто вопрос математики, имеющие под рукой «схему перевода», но не записывать доказательство в чистой логике, чтобы сделать его более доступным и легче читать.На самом деле, часто далеко не очевидно, как перевести данное доказательство в формальную логику. Кроме того, это не ясно, что понятие «перевод» неформального доказательства на формальный язык — это обязательно правильный взгляд на ситуация. Стюарт Шапиро, по сути, представляет эту точку зрения на начало его книги 1991 г., фондов без Фундационализм , пишущий, что:

Языки полной логики, по крайней мере частично, являются математическими. модели фрагментов обычных естественных языков, таких как английский, или возможно, обычные языки дополнены выражениями, используемыми в математика.Последние могут быть названы «естественными языками математика’. Для акцента или во избежание путаницы язык полной логики иногда называют «формальным языком».

В математической модели всегда есть разрыв между языком логика и ее аналог на естественном языке. Соответствие между моделями и смоделированные могут быть хорошими или плохими, полезными или вводящими в заблуждение, независимо от того, цель под рукой. (Шапиро 1991, 3)

Альтернативная картина заключается в том, что формальные и неформальные языки предлагают различные способы выражения математических теорем и доказательств.В формальный язык не используется для «перевода» и, следовательно, не нужно сравнивать с тем, что выражается в неформальной доказательство. Скорее, он предлагает свои собственные, возможно, лучшие ресурсы для выражая содержание математических утверждений в точном и строгие настройки, специально разработанные для этой цели. Какую бы картину отношения между формальным и неформальные изложения математики, осталось два пункта. Первый, дедуктивные математические аргументы — аргументы, которые производятся, переданные математиками и построенные на их основе — могут быть либо формальный или неформальный.Во-вторых, оценка таких аргументов как дедуктивно действительный или недействительный легче окончательно провести в контекст какой-то формальной системы.

Также стоит отметить, что Лакатош выступает за третью категорию доказательство, помимо формального и неформального, что он называет «Квазиформальный». Лакатош пишет, что:

предположить, что неформальное доказательство — это просто неполное формальное доказательство мне кажется, что они совершают ту же ошибку, что и ранние педагоги когда, предполагая, что ребенок был просто взрослым в миниатюре, они пренебрегали прямым изучением поведения детей в пользу теоретизирования основанный на простых аналогиях с поведением взрослых.(Лакатос 1980, 63)

2.1.2 Пробелы в доказательствах

Вышеупомянутый разговор о том, что «каждый пробел заполняется» в переход к идеальному доказательству затушевывает тот факт, что понятие «пробел» в доказательстве сам требует дальнейшего разъяснение. Во-первых, самый простой способ определения пробел в доказательстве — как указано ниже — применим только к полностью формальные системы.

Пробел — это любая точка в доказательстве, где написанная строка не следуют из некоторого подмножества предыдущих строк (вместе с аксиомами) путем применения формально действительного — и явно заявлено — правило вывода для системы.

Причина, по которой любое правило должно быть четко указано Правило вывода для системы состоит в том, что мы хотим освободить место для неубедительные, но действительные доказательства. Например, «2 + 2 = 4, следовательно, есть бесконечно много простых чисел »- веский аргумент, но очевидно, что это большой разрыв между его предпосылкой и его заключением. С другой стороны, несмотря на то, что вышеприведенное определение работает только для формальных доказательств, пустота и формальность не всегда идут рука об руку. Таким образом традиционный силлогизм, такой как: «Все люди смертны; Сократ человек; следовательно, Сократ смертен ». неофициальное доказательство.Один из способов расширить понятие разрывов (и отсутствие пробелов) к неформальным доказательствам через понятие базового математический вывод , другими словами, вывод, который «Принято математическим сообществом как пригодное для доказательства без каких-либо дополнительных аргументов »(Fallis 2003, 49).

Как бы мы ни характеризовали пробелы, несомненно, что в большинстве реальных доказательств, представленных математиками, есть пробелы. Дон Фаллис предлагает таксономию пробелов в доказательствах в своей работе (2003):

.

1. Пробелы в выводе
   «Математик оставил пробелы в выводе всякий раз, когда последовательность предложений, которые математик имеет в виду (как доказательство) не является доказательством »(Fallis 2003, 53).
2. Энтимематические промежутки
   «Математик оставляет энтимематический промежуток всякий раз, когда он этого не делает. явно указать конкретную последовательность предложений, которые он имеет в уме »(Fallis 2003, 54). ^[4]
3. Неустраненные пробелы
   «Математик оставил неразрешенный пробел всякий раз, когда он не пробовал непосредственно проверить, что каждое предложение в последовательности предположения, которые он имеет в виду (как доказательство), следует из предыдущие предложения в последовательности основных математических вывод »(Fallis 2003, 56–7).

В дополнение к этой таксономической работе Фаллис также утверждает, что философский тезис о том, что пробелы в доказательствах не обязательно плохие предмет. Основываясь на (iii) выше, он вводит понятие универсально неразрешенный зазор , другими словами, зазор, имеющий не было переброшено ни одним членом математического сообщества. Fallis утверждает, что такие пробелы не являются чем-то необычным и что по крайней мере некоторые из временные доказательства, содержащие их, принимаются математиками в оправдательный контекст.Это мнение подтверждается в более поздних работах Андерсен (2018).

Одна из активных областей работы, которая привела к раскрытию До сих пор нераспознанные пробелы различного рода — автоматическое доказательство проверка. Специально разработанные компьютерные программы используются для проверки действительность доказательств, представленных в соответствующем формальном язык. До сих пор основное внимание уделялось не открытию новых результаты, но при проверке статуса доказательств уже установленных Результаты. Джордж Гонтье использовал этот подход для проверки доказательства теорема о четырех цветах (Gonthier 2008) и доказательство нечетного порядка Теорема в теории групп (Gonthier et al.2013), а Томас Хейлз проверил доказательство теоремы о кривой Жордана (Hales 2007). В каждом В этом случае был обнаружен и преодолен ряд пробелов. Формальный проверка такого рода может также выявить другую информацию, скрытую в содержание обычных математических аргументов. Георг Крайзель описал этот общий процесс как «раскручивание доказательств», в то время как Ульрих Коленбах недавно ввел термин «доказательство добыча.» В связи с описанными выше методами Avigad пишет, что

… Теоретические методы и идеи могут быть использованы … В области автоматизированных рассуждений и формальной проверки.С начала двадцатого века стало понятно, что обычные математические аргументы могут быть представлены в формальной аксиоматике. теории, по крайней мере, в принципе. Сложность даже в самые основные математические аргументы, однако, оказали большую часть формализация неосуществима на практике. Появление вычислительной Доказательство помощников начало менять это, делая возможным формализовать все более сложные математические доказательства. … [T] он методы также могут использоваться для более традиционной задачи проверки обычные математические доказательства и особенно актуальны для случаев где доказательства полагаются на вычисления, которые слишком обширны, чтобы проверить их рука.(Авигад 2007, стр. 7)

Однако Деларивьер и Ван Керхове (2017) отмечают, что компьютерные методы могут сыграть все более важную роль в доказательстве проверки, гораздо менее ясно, что такие методы могут сыграть соответственно центральная роль в продвижении математического понимания.

2.1.3 Диаграммы

Еще один аспект неофициальных доказательств, который был предметом обновленных внимание в современной философской литературе занимает роль диаграммы (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008).Чего нет в спор в том, что доказательства — особенно в геометрии, но и в других области от анализа до теории групп — часто сопровождаются диаграммами. Один вопрос заключается в том, играют ли такие диаграммы незаменимая роль в цепочке рассуждений, ведущих из предпосылки данного доказательства к его заключению. Prima facie , Казалось бы, возможны три ситуации:

1. Диаграммы не играют существенной роли в доказательстве и служат просто как «иллюстрации» аспектов предмета с которым он имеет дело.
2. На практике это сложно (или даже невозможно) понять доказательство без использования диаграмм, но это незаменимость скорее психологическая, чем логическая.
3. Диаграммы играют важную роль в логической структуре доказательство.

Первая волна философской работы над схематическими рассуждениями сосредоточился на Elements Евклида, отчасти из-за центральность и историческое значение этой работы, и отчасти потому, что его так часто называют каноническим примером дедуктивного метода (см., д.г., Мумма 2010). Если некоторые или все диаграммы в Элементы подпадают под вариант (iii) выше, затем удаляются все диаграммы сделают многие доказательства недействительными. Это вызывает дальнейший вопрос о том, есть ли отчетливо схематическая форма рассуждения могут быть идентифицированы и проанализированы, и — если Итак, можно ли это описать в чисто дедуктивной системе. Один трудность для любой предлагаемой ригоризации — это «обобщение проблема »: как может доказательство, связанное с конкретной диаграммой быть обобщенным на другие случаи? Это переплетается с проблемой формально различая существенное и случайные особенности данной диаграммы.

Более поздняя работа о роли диаграмм в доказательствах включала защита позиции, что схематические доказательства иногда могут быть полностью строгий (Azzouni, 2013) и изучение основанных на диаграммах рассуждения в областях математической практики, отличных от геометрии (de Тоффоли и Джардино, 2014; де Тоффоли, 2017).

2.2 Обоснование удержания

Даже если мы ограничим внимание контекстом оправдания, дедуктивное доказательство дает категорическое знание, только если оно исходит из безопасная отправная точка, и если правила вывода сохранение истины.Может ли наша уверенность в том, что эти два условия имеют место и обосноваться чисто дедуктивно? Эти условия будут рассматривается по очереди.

2.2.1 Обоснование правил

В каком-то смысле довольно просто дать дедуктивную обоснование некоторого излюбленного набора правил вывода. Может быть показано, например, что если помещения приложения Modus Ponens верны, значит, вывод также должен быть верным. Проблема в наименее потенциально заключается в том, что такие оправдания обычно используют само правило, которое они пытаются оправдать.В приведенном выше случае: если MP применительно к истинным посылкам вывод верен; МП применяется к истинное помещение; отсюда вывод верный. Хаак (1976) и другие спорили о том, порочна ли здесь округлость или нет. Один решающее значение имеет то, является ли аналогичный «Оправдания» могут быть даны для недействительных правил, для пример правил введения и исключения Priority для «Tonk», которые также имеют функцию использования правила для оправдывать сам. ^[5] (Тесно связанную проблему можно проследить до Льюиса Кэрролла и его классическая (1895 г.) бумага.)

2.2.2 Статус аксиом

Предположим, что идеализированное дедуктивное доказательство дает одно вид безопасности: прозрачность каждого шага гарантирует действительность аргумента в целом и, следовательно, гарантирует, что , если все предпосылки верны , тогда заключение должно быть верным. Но какие аксиомы внесены в начало доказательства процесс? Традиционный ответ на этот вопрос — утверждать, что истинность аксиом надежна, потому что аксиомы «Самоочевидно».Это, безусловно, было общепринятый взгляд на аксиомы евклидовой геометрии, ибо пример. Однако такое отношение гораздо менее распространено в современном мире. математика по разным причинам. Во-первых, открытие неевклидова геометрия в начале 19 ^{-х годов} века показала эта очевидная самоочевидность, по крайней мере, в случае с Параллельным Постулат не является гарантией необходимой истины. Во-вторых, увеличивающийся диапазон и сложность математических теорий — и их аксиоматизации — сделали менее правдоподобным утверждение, что каждая отдельная аксиома была прозрачно верной.В-третьих, многие математические подполя стали в значительной степени абстрагированными из любых конкретных моделей, и это идет рука об руку с склонность, по крайней мере, некоторых математиков принять формалистический отношение к разрабатываемым ими теориям. Вместо того, чтобы выражать фундаментальные истины, с этой точки зрения аксиомы служат просто для обеспечения исходное положение для официальной игры.

Скольжение в сторону такого формалистического отношения к аксиомам также может можно проследить через логицизм Фреге.Программа логики искала показать, что математика сводится к логике, другими словами, что можно показать, что математические доказательства состоят из логических выводов из логически верные помещения. Для Фреге эти логически верные посылки таковы: определений терминов, которые в них встречаются. Но это снова поднимает вопрос о том, что отличает приемлемое от неприемлемого определения. Беспокойство здесь не только в том, верны ли наши аксиомы. но насколько они последовательны (ловушка, которая, как известно, Собственная система Фреге).И это проблема, если самоочевидность отказались от «золотого стандарта» аксиом, независимо от того, перейти отсюда к взглядам формалистов или логики. В обоих случаях, некоторые другие границы приемлемости аксиом-кандидатов должны быть при условии.

Есть ли золотая середина между высокими стандартами самоочевидность с одной стороны и «все идет» отношение к другому? Одна идея, версию которой можно проследить к Бертрану Расселу, заключается в том, чтобы прибегнуть к версии вывода о лучших объяснение.Точка зрения Рассела, достаточно правдоподобная, заключается в том, что предложения элементарной арифметики — «2 + 2 = 4», «7 — простое число» и т. Д. — гораздо более очевидны, чем аксиомы любой логической или теоретико-множественной системы с, чтобы заземлить их. Поэтому вместо того, чтобы рассматривать аксиомы как максимально само собой разумеющимся, мы должны вместо этого думать о них как о избранных на основу их (коллективной) способности систематизировать, извлекать и объяснить основные арифметические факты. Другими словами, направление логическое следствие остается от аксиом к арифметическим фактам, но направление оправдания может пойти другим путем, по крайней мере, в случае очень простых, очевидных арифметических фактов.Получение «2 + 2 = 4 ”из наших теоретико-множественных аксиом не увеличивает уверенность в истинности «2 + 2 = 4», но тот факт, что мы можем вывести этот заранее известный факт (а не вывести другие предположения, которые мы знаем, что они ложны) действительно увеличивает нашу уверенность в истинности аксиом.

Направление оправдания здесь отражает направление обоснование вывода о лучшем объяснении. Как только у нас будет мера уверенности в конкретном выборе аксиом, тогда направление оправдания может также течь в более традиционных направление, в ногу с дедуктивными выводами доказательства.Это будет случается, когда доказанная теорема не была той, истинность которой была ранее очевидно. Иасваран (2005 г.), Манкосу (2008 г.) и Шлимм (2013) разработали это основное объяснение выбора аксиомы в различных способами. Например, Манкосу утверждает, что аналогичный процесс может лежат в основе развития новых математических теорий, расширяющих область применения или онтологию предыдущих теорий. Изготовление дальнейший прогресс в анализе этого процесса будет зависеть от удовлетворительное изложение математического объяснения, и это стало область значительного интереса в недавней литературе по философия математики.

Другой подход, которого придерживалась Мэдди (1988, 1997, 2001, 2011), — смотреть более подробно о реальной практике математиков и причины, по которым они принимают или отклоняют другого кандидата аксиомы. Мэдди уделяет основное внимание аксиомам теории множеств, и она утверждает, что существуют различные теоретические достоинства, без прямой связи к «самоочевидности», которой могут обладать аксиомы. Что эти добродетели и то, как они соотносятся друг с другом, могут хорошо различаются в разных областях математики.Две основные добродетели которые Мэдди определяет для теоретико-множественных аксиом как UNIFY (т.е. они обеспечивают единую фундаментальную теорию для решения теоретико-множественных вопросы) и МАКСИМИЗИРОВАТЬ (т. е. чтобы они не ограничивали произвольно диапазон типов изоморфизма). Проблема выбора аксиомы в теории множеств также был поднят в недавней работе Lingamneni (2017) и Фонтанелла (2019).

2.3 Результаты Гёделя

Несомненно, самое известное из ограничений дедуктивного методы в математике — это те, которые проистекают из неполнота результатов.Хотя эти результаты относятся только к математические теории, достаточно сильные, чтобы включать арифметику, центральность натуральных чисел (и их продолжений в рациональные числа, действительные числа, комплексы и т. д.) как средоточие математической деятельности означает, что последствия широко распространены.

Не следует также говорить о точном значении работы Гёделя. завышен. Порядок квантификаторов важен. Что Гёдель показал, что для любого непротиворечивого, рекурсивно аксиоматизированного формального система F, достаточно сильная для арифметики, есть истины, которые можно выразить на чисто арифметическом языке, которые не доказываются в F.Он сделал не показывать, что есть недоказуемые арифметические истины. любая формальная система . Тем не менее, результаты Гёделя забил несколько значительных гвоздей в гроб одной из версий дедуктивный идеал математики. Не может быть ни одного, рекурсивно аксиоматизируемая формальная система для всей математики, которая является (а) непротиворечивым, (б) чисто дедуктивным и (в) полным. Одна строка ответом на это затруднительное положение является изучение вариантов недедуктивного методы обоснования в математике.

3.1 Экспериментальная математика

Роль недедуктивных методов в эмпирической науке легко понять. очевидный и относительно бесспорный (, Карл Поппер). Действительно, канонический образец оправдания в науке — a. posteriori и индуктивная. Что делает эмпирическую науку эмпирической решающую роль играет наблюдение, и — в частное — экспериментальным путем. Поэтому естественная отправная точка в обзоре недедуктивных методов в математике стоит взглянуть на Возникновение жанра, известного как «экспериментальная математика».”The за последние 15 лет или около того появились журналы (например, The Journal of Experimental Mathematics ), институты (например, Институт экспериментальной математики Университета Эссен), коллоквиумы (например, коллоквиум по экспериментальной математике в г. Rutgers University) и книги (например, Borwein and Bailey 2003 и 2004), посвященный этой теме. Эти последние авторы также утверждают, что в Borwein и Bailey (2015) за значимость экспериментальных математика в математической практике в целом, в то время как Соренсен (2016) предлагает более широкий исторический и социологический анализ экспериментальной математики.

На фоне традиционной дихотомии между математические и эмпирические пути к знанию, сам термин «Экспериментальная математика» кажется в лучшем случае оксюмороной и худшее прямо-таки парадоксальное. Одно естественное предположение состоит в том, что экспериментальная математика включает выполнение математических эксперименты , где термин «эксперимент» здесь истолковано настолько буквально, насколько это возможно. Это подход, принятый ван Бендегем (1998). По словам ван Бендегема, эксперимент предполагает: «Манипулирование объектами,… настройка процессов в «реальный» мир и… наблюдение возможных результатов этих процессов »(Van Bendegem 1998, 172).Его предложение что естественный способ получить первоначальное представление о том, что эксперимент может состоять в том, чтобы рассмотреть, как эксперимент в этом парадигматический смысл может иметь математические разветвления.

Один из примеров, который приводит ван Бендегем, восходит к работе, проделанной 19 ^-е -е годы Бельгийский физик Плато на минимальной поверхности проблемы области. Создавая различные геометрические формы из проволоки и окунув эти проволочные каркасы в мыльный раствор, Плато смог ответить на конкретные вопросы о минимальной поверхности, ограничивающей различные определенные формы, и — в конечном итоге — сформулировать некоторые общие принципы, регулирующие конфигурации таких поверхности. ^[6] Один из способов понять, что происходит в этом примере, состоит в том, что физический эксперимент — окунание проволочного каркаса в мыло решение — дает результаты, которые имеют прямое отношение к определенный класс математических задач. Главный недостаток этого способа характеристики экспериментальной математики состоит в том, что она слишком ограничительный. Примеры того, что цитирует ван Бендегем, чрезвычайно редко, следовательно, влияние математических экспериментов такого рода на реальная математическая практика может быть в лучшем случае лишь очень ограниченной.Более того, не только этот, буквальный смысл эксперимента математики имеют в виду, когда говорят о — и до — экспериментальная математика.

Вот и все, что касается самого буквального прочтения «математической эксперимент ». Потенциально более плодотворный подход — подумать аналогичные или функциональные термины. Другими словами, возможно «Экспериментальная математика» используется для обозначения деятельности, которая функционирует в математике аналогично роль эксперимента в эмпирической науке.Таким образом, математические эксперименты может разделять одни особенности с буквальными экспериментами, но не другие особенности (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove 2008 г.). Прежде чем продолжить этот анализ, может быть полезно чтобы вкратце взглянуть на тематическое исследование.

Хороший пример текущей работы в области экспериментальной математики можно найти в одна из двух недавних книг Борвейна и Бейли (1995b, гл. 4). А действительное число считается нормальным в базе n , если каждая последовательность цифр для основания n (любой заданной длины) одинаково часто встречается в его base-n расширение.Номер абсолютно нормальный , если он нормально в каждой базе. Рассмотрим следующую гипотезу:

Гипотеза: всякое нерациональное алгебраическое число абсолютно нормально.

Борвейн и Бейли использовали компьютер для вычисления десятичных знаков после запятой. квадратные корни и кубические корни из натуральных чисел, меньших, чем 1000, а затем они подвергли эти данные определенным статистическим тесты.

В этом примере есть несколько ярких особенностей, которые могут указать к более общей характеристике экспериментальной математики.Во-первых, путь от свидетельства к гипотезе лежит через перечисление. индукция. Во-вторых, это использование компьютеров. В чем Ниже мы рассмотрим эти две особенности по очереди.

3.2 Перечислительная индукция

В письме к Эйлеру, написанном в 1742 году, Кристиан Гольдбах предположил, что что все четные числа больше 2 выражаются как сумма двух простые числа. ^[7] В течение следующих двух с половиной столетий математики не может доказать гипотезу Гольдбаха.Однако это было проверено на многих миллиардах примеров, и, похоже, консенсус среди математиков, что гипотеза наиболее вероятна истинный. Ниже приведен частичный список (по состоянию на октябрь 2007 г.), показывающий порядок величины, до которой все четные числа были проверены и показаны чтобы соответствовать GC.

Связанный	Дата	Автор
1 × 10 3	1742	Эйлер
1 × 10 4	1885	Desboves
1 × 10 5	1938	Кант
1 × 10 8	1965	Stein & Stein
2 × 10 10	1989	Гранвиль
1 × 10 14	1998	Десуиллер
1 × 10 18	2007	Оливейра и Сильва

Несмотря на такое огромное количество отдельных положительных примеров GC, которому с начала 1960-х годов помогли введение — и последующие быстрое увеличение скорости — цифрового компьютера, никаких доказательств GC пока не найдено.Не только это, но и некоторые теоретики чисел оптимистично настроен на то, что в ближайшем будущем появятся какие-либо доказательства. Медалист Филдса Алан Бейкер заявил в интервью 2000 года: «Маловероятно, что мы продвигайтесь дальше [в доказательстве GC] без большого прорыва. К сожалению, такой большой идеи на горизонте нет ». Также в В 2000 году издатели Faber и Faber предложили каждому приз в размере 1000000 долларов. которые доказали GC в период с 20 марта 2000 г. по 20 марта 2002 г., уверены, что их деньги были в относительной безопасности.

Что делает эту ситуацию особенно интересной, так это то, что математики давно уверены в истинности GC.Харди Еще в 1922 году Литтлвуд утверждал, что «нет разумные сомнения в том, что теорема верна », и Эчеверриа, в недавней обзорной статье пишет, что «уверенность в математиков об истинности GC полно »(Echeverria 1996, 42). Более того, эта уверенность в истинности GC обычно прямо связаны с индуктивными доказательствами: например, G.H. Харди описал числовые свидетельства, подтверждающие истинность ГК, как «подавляющий.» Таким образом, кажется разумным заключить, что Основанием для веры математиков в GC является перечисление индуктивное свидетельство.

Одна отличительная особенность математического случая, которая может сделать Разница в оправдательной силе перечислительной индукции заключается в том, что важность порядка. Примеры, подпадающие под данную математическую гипотезы (по крайней мере, в теории чисел) внутренне упорядочены, и кроме того, положение в этом порядке может иметь решающее значение для задействованные математические свойства. Как пишет Фреге, относительно математика:

[T] Заземление [является] неблагоприятным для индукции; здесь нет ни одного из то единообразие, которое в других областях может дать методу высокую степень надежности.(Фреге, Основы арифметики )

Затем Фреге цитирует Лейбница, который утверждает, что разница в величина приводит ко всем видам других существенных различий между номера:

Четное число можно разделить на две равные части, нечетное число не можешь; три и шесть — треугольные числа, четыре и девять — квадраты, восьмерка — это куб и так далее. (Frege, Основы Арифметика )

Фреге также явно сравнивает математические и нематематические контексты для индукции:

В обычных индукциях мы часто пользуемся предложением, что каждая позиция в пространстве и каждый момент времени так же хороши сами по себе как и все остальные.… Положение в числовом ряду не имеет значения равнодушия, как положение в пространстве. (Frege, Основы Арифметика )

Как следует из замечаний Фреге, один из способов подкрепить аргумент против использования перечислительной индукции в математике через некоторые вид принцип неравномерности : в отсутствие доказательств мы не следует ожидать, что числа (в общем) поделятся любопытными характеристики. Следовательно, устанавливая, что свойство выполнено для некоторого конкретное число не дает оснований думать, что второй произвольно выбранный номер также будет иметь это свойство. ^[8] Вместо принципа однородности, который предлагает Юм, является единственным способ заземления индукции, мы имеем почти прямо противоположное принцип! Казалось бы, из этого принципа следует, что Перечислительная индукция неоправданна, так как не следует ожидать (конечные) выборки из совокупности натуральных чисел в качестве ориентировочных универсальных свойств.

Потенциально даже более серьезная проблема в случае GC и вообще в других случаях индукции в математике заключается в том, что образец, который мы глядя на смещен .Обратите внимание на то, что все известные экземпляры GC (и действительно все экземпляры, которые можно знать) являются — в важном смысле — маленькими.

В прямом смысле слова больших чисел не бывает: любое явное целое число. можно сказать, что они «маленькие». Действительно, сколько бы цифры или башни экспонент, которые вы записываете, есть только конечное много натуральных чисел меньше, чем ваш кандидат, и бесконечно много которые больше (Crandall and Pomerance 2001, 2).

Конечно, было бы неправильно просто жаловаться, что все экземпляры GC — это конечный .В конце концов, каждое число конечно, поэтому, если GC выполняется для всех конечных чисел, чем выполняется GC Симпликатор . ^[9] Но мы можем выделить более крайнее чувство малости, которое может быть обозначается как minuteness .

Определение: положительное целое число, n , это минут только в case n находится в диапазоне чисел, которые мы можем записать с помощью обычная десятичная система счисления, включая (не повторяющееся) возведение в степень.

Проверенные экземпляры GC на сегодняшний день не просто маленькие, они очень мелкие.А мелкость, хотя, по общему признанию, довольно расплывчатая, известна Сделать разницу. Рассмотрим, например, логарифмическую оценку простая плотность (т. е. доля чисел меньше заданного n , которые являются простыми), что, как известно, является заниженным для достаточно большой n . Пусть n ^* будет первым число, для которого логарифмическая оценка слишком мала. Если Риман Гипотеза верна, тогда можно доказать, что верхняя оценка для n ^* (первое число Skewes) равно 8 × 10 ³⁷⁰ .Хотя впечатляюще большое количество, это тем не менее, минута согласно приведенному выше определению. Однако если Гипотеза Римана неверна, чем наша самая известная верхняя оценка для n ^* (второе число Skewes) 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. ^[10] Необходимость изобретения здесь обозначения «стрелка», чтобы Представьте, что это число говорит нам, что это не минута. Вторая часть этого результата, поэтому, хотя, по общему признанию, зависит от результата что считается маловероятным (т. е.ложность RH), следует, что есть свойство, которое содержит все минутные числа, но не удерживайте для всех номеров. Мельчайшие детали могут иметь значение.

А как насчет кажущейся уверенности теоретиков чисел в правда GC? Эчеверриа (1996) обсуждает важную роль, которую играет Публикация Кантора в 1894 году таблицы значений Статистическая сумма Гольдбаха, G ( n ), для n = от 2 до 1000 (Echeverria 1996,29–30). Статистическая сумма меры количество различных способов, которыми данное (четное) число может быть выражается как сумма двух простых чисел.Таким образом, G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1, G (10) = 2 и т. Д. Это смещение фокуса на статистическую сумму совпал с резким увеличением уверенности математиков в GC. Что стало очевидным из работы Кантора, так это то, что G ( n ) имеет тенденцию к увеличению по мере увеличения n . Обратите внимание, что в этом контексте GC сводится к тому, что G ( n ) никогда не принимает значение 0 (для любого четного n больше 2). Подавляющее впечатление , произведенное данными о функции раздела, заключается в том, что он очень маловероятно, что сборщик мусора откажет для некоторых больших n .Для например, для чисел порядка 100 000 всегда есть как минимум 500 различных способов выразить каждое четное число как сумму двух простые числа!

Однако в нынешнем виде эти результаты являются чисто эвристическими. Тридцать лет после публикации Кантором своей таблицы ценностей (описанный Эчеверрией как «период ^— гг.» исследования GC) видел многочисленные попытки найти аналитическое выражение для G ( n ). Если бы это можно было сделать, то, по-видимому, это было бы сравнительно просто доказать, что эта аналитическая функция никогда не принимает значение 0 (Echeverria 1996, 31).Примерно к 1921 году пессимизм в отношении шансов найти такое выражение привел к изменение акцента, и математики начали направлять свои внимание на попытку найти нижние оценки для G ( n ). Это тоже оказался безуспешным, по крайней мере, на сегодняшний день.

Таким образом, рассмотрение статистической суммы не привело к доказательству GC никак не ближе. Однако это позволяет нам дать интересный вернемся к аргументу предыдущего раздела. График предполагает, что самые сложные тестовые примеры для сборки мусора, вероятно, произойдут среди самых маленьких числа; следовательно, индуктивный образец для GC смещен на , но он смещен против шансов GC.Математиков уверенность в истинности GC не основана исключительно на перечислительных индукция. Значения, взятые статистической суммой, показывают, что выборка положительных примеров GC действительно смещена и смещена образцы, как правило, не оказывают большой поддержки гипотеза. Но в данном конкретном случае характер предвзятости делает доказательства сильнее, а не слабее. Так что можно утверждать, что перечислительная индукция неоправданна при одновременном согласии что математики рационально полагают, что GC на основе имеющиеся доказательства.(Обратите внимание, что необходимо поддерживать тонкий баланс. здесь, потому что свидетельством поведения статистической суммы является сам по себе недедуктивный. Однако создается впечатление, что G ( n ) ограничена снизу некоторой возрастающей аналитической функцией, не является на основе перечислительной индукции как таковой , поэтому обоснование — хотя и недедуктивное — не является круговым.)

Результат вышеупомянутого обсуждения, хотя и основан на одном случае исследования, заключается в том, что математики не должны — и в целом not — придайте вес перечислительной индукции как таковой в обоснование математических утверждений.(В какой мере перечислительные индукция играет роль в открытии новых гипотез или в выбор того, над чем решают работать математики, — это отдельный вопрос, который здесь не рассматривался). Диссертация состоит из двух частей:

1. Счетная индукция не должна увеличиваться уверенность в универсальных математических обобщениях (в бесконечном домен).
2. Перечислительная индукция не ведет (в общем) математики, чтобы быть более уверенными в истинности заключения такие обобщения.

3.3 Компьютерные доказательства

Отличительной чертой современных работ по экспериментальной математике является что это делается с помощью компьютеров . Это зависимость от сложные части электроники, что делает поле «Экспериментальный»? Если посмотреть, что публикуется в современные журналы, книги и конференции, посвященные экспериментальным математика, создается впечатление, что все предметы тесно связаны с компьютерами. Например, похоже, что нет ни одного статья, опубликованная в более чем десятилетних выпусках Экспериментальная математика , не использующая компьютеры.А как насчет примеров, к которым склонны математики? предложить как парадигмы экспериментальной математики? Здесь данные менее ясно. С одной стороны, неофициальный опрос показывает, что большинство таких примеров действительно связано с явным использованием компьютеров. С другой стороны, математики нередко цитируют один или несколько исторических примеров, задолго до компьютерной эры, до проиллюстрировать предполагаемую родословную субдисциплины.

Самая большая практическая проблема приравнивания экспериментального математика с компьютерной математикой происходит от того, что самозваные экспериментальные математики говорят о своих зарождающихся дисциплина.Когда математики застенчиво задумываются о понятие экспериментальной математики, они склонны отвергать утверждение, что использование компьютера — необходимая функция. Например, редакторы журнала журнал Experimental Mathematics — в их «Философское изложение», касающееся объема и характера журнала — сделать следующие пометки:

Слово «экспериментальный» имеет широкое значение: многие математические эксперименты в наши дни проводятся на компьютерах, но другие по-прежнему являются результатом работы с карандашом и бумагой, а есть другие экспериментальные методы, такие как построение физических модели.(«Цели и возможности», Experimental Mathematics — см. «Другие ресурсы в Интернете»)

А вот еще один отрывок с похожим оттенком от математика. Дорон Зейлбергер:

[T] Традиционная экспериментальная математика… была проведена все великие и менее великие математики на протяжении веков, карандашом и бумагой. (Галлиан и Пирсон 2007, 14)

Будет справедливо сказать, что привязка экспериментальной математики к компьютеру использование хорошо согласуется с тем, что делают современные экспериментальные математики но не так хорошо с тем, что они сказать. ^[11]

Вторая проблема с предлагаемой характеристикой заключается в следующем. философский характер. Рассмотрим еще один широко цитируемый пример экспериментальная математика, возникающая в связи с Гипотеза Гольдбаха. По состоянию на апрель 2007 г. все четные числа до 10 ¹⁸ были проверены на соответствие требованиям GC, и этот проект (под руководством Oliveira e Silva) продолжается. Этот массивный вычислительная задача обычно считается парадигмальным примером экспериментальная математика.И кажется очевидным, что компьютеры играют здесь существенную роль: ни математик, ни группа математики, могли бы надеяться повторить 10 ¹⁸ расчетов рукой.

В текущем контексте центральный вопрос заключается не в том, компьютерная математика является «экспериментальной», но это — по крайней мере иногда — без вычета . В одной смысл, конечно, все индивидуальные расчеты, выполненные компьютер дедуктивен, или, по крайней мере, они изоморфны операции чисто дедуктивной формальной системы.Когда компьютер проверяет экземпляр GC, эта проверка полностью дедуктивна. Затем мы можем выделить два разных вопроса. Во-первых, это вычисления, играющие недедуктивную роль в некоторых более крупных математических аргумент? И, во-вторых, убеждения, которые мы формируем непосредственно из результаты компьютерных вычислений дедуктивно обоснованные убеждения? В первый из этих вопросов не включает ничего специфического для компьютеров, и, следовательно, возвращается к проблеме, обсуждаемой в Разделе 3 (B) выше о перечислительной индукции.Второй вопрос будет рассматривается ниже.

Было вызвано философское обсуждение статуса компьютерных доказательств. во многом благодаря компьютерному доказательству Аппеля и Хакена Теорема о четырех цветах в 1976 году. В его (1979) Тимочко утверждает (спорно), что математическое знание, основанное на компьютерных доказательствах по существу эмпирический характер. Это потому что такие доказательства не a priori , не достоверны, не доступный для исследования и не подлежащий проверке математиками-людьми. Во всех этих уважает, по словам Тимочко, компьютерные доказательства непохожи на традиционные «карандашно-бумажные» корректуры.Касательно обзорность, Тимочко пишет:

Доказательство — это конструкция, которую можно просмотреть, просмотреть, проверить. рациональным агентом. Мы часто говорим, что доказательство должно быть наглядным, или возможность проверки вручную. Это выставка, вывод вывод, и ему не нужно ничего, кроме самого себя, чтобы быть убедительным. Математик исследует доказательство целиком и таким образом приходит к знать заключение. (Тимочко 1979, 59).

Предположим в качестве аргумента, что компьютерное доказательство, о котором идет речь, является дедуктивно правильно, но также не поддается исследованию в указанном выше смысле.Делает наше решение полагаться на производительность компьютера здесь составляет недедуктивный метод ? Один из способов рассмотрения такого рода примеров как будто вбивает клин между дедуктивным методом и нашим недедуктивным доступ к результатам этого метода. Сравните, например, получить информацию о конкретном математическом результате от эксперта математик (с хорошей репутацией). Это «Недедуктивный метод »? ^[12]

3.4 Вероятностные доказательства

Существует небольшое, но постоянно растущее подмножество математических методов, которые имеют существенно вероятностный характер.В контексте обоснование, эти методы не подразумевают дедуктивного заключения а лучше установить, что есть некоторые (часто точно определяемые) высокая вероятность того, что вывод верен. Философская дискуссия из этих методов началось с Fallis (1997, 2002), в то время как Berry (2019) полезный недавний вклад в дискуссию.

Один тип вероятностного метода связан с предыдущим обсуждением. экспериментальной математики, поскольку она включает в себя проведение экспериментов в самом буквальном смысле.Идея состоит в том, чтобы использовать вычислительную мощность ДНК для эффективного создания параллельного компьютера для решения некоторые иначе неразрешимые комбинаторные проблемы. Самый известный из них — проблема «коммивояжера», которая включает определение того, существует ли какой-либо возможный маршрут через узлы графа, соединенные однонаправленными стрелками, которые посещают каждый узел ровно один раз. Адлеман (1994) показывает, как можно закодировать проблему. с использованием цепей ДНК, которые затем могут быть сплайсированы и рекомбинированы с использованием различные химические реакции.Появление определенной более длинной ДНК прядей в конце процесса соответствует нахождению путь решения через граф. Возникают вероятностные соображения. наиболее отчетливо в том случае, когда нити ДНК больше не обнаруживаются. Этот указывает, что нет пути через граф, но даже если эксперимент проведен правильно, опора здесь не дотягивает полная уверенность. Потому что есть небольшая вероятность, что есть решение но что он не может быть закодирован какой-либо цепью ДНК в начале эксперимент.

В математике есть также вероятностные методы, которые экспериментальный в указанном выше смысле. Например, есть свойства составные (т.е. непростые) числа, которые, как можно показать, выполняются в отношение примерно к половине чисел меньше, чем данный составной номер. Если выбраны различные числа меньше N в случайным образом, и ни один из них не имеет отношения к N , тогда он из этого следует, что N почти наверняка простое. Уровень вероятность здесь может быть точно рассчитана и может быть сделана как можно более высокой. по мере необходимости, выбирая больше «свидетелей» для проверки.

Обратите внимание, что такого рода вероятностные методы содержат множество чисто дедуктивное рассуждение. Действительно, во втором примере факт что вероятность того, что N будет простым, равна 0,99. чисто дедуктивно. Тем не менее, есть общий консенсус в отношении математическое сообщество, что такие методы неприемлемы заменяет дедуктивное доказательство заключения. Фаллис (1997, 2002) утверждает, что это отклонение необоснованно, потому что любое свойство вероятностные методы, которые можно назвать проблемными, разделяется некоторыми доказательствами, которые принимает математическое сообщество.Фаллис уделяет основное внимание установлению истины как ключевого эпистемологического цель математики. Однако кажется правдоподобным, что одна из основных причин за недовольство математиков вероятностными методами заключается в том, что они не объясняют , почему их выводы верны. Кроме того, Ишваран возражает против Фаллиса, что существует собственность, которую он называет «передаваемость», что нет вероятностных доказательств и есть приемлемые доказательства (Easwaran 2009; Джексон 2009). Fallis (2011) — ответ на некоторые из этих возражения.

С другой стороны, могут быть случаи, когда чистая правда или ложь претензии важно даже при отсутствии сопроводительного объяснение. Например, можно представить себе ситуацию, в которой важная и интересная гипотеза, — говорят Риман Гипотеза — рассматривается, вероятностный метод используется, чтобы показать, что какое-то число, скорее всего, является контрпримером. Интересно порассуждать, какова реакция математических сообщество может быть в этой ситуации.Будет работать над попыткой доказать RH прекратить? Будет ли это продолжаться до тех пор, пока не будет получено строгое дедуктивное доказательство контрпример построен?

Непонятно, почему следует ожидать различных недедуктивных методы, используемые в математике, чтобы разделить какие-либо существенные особенности, другие чем их недедуктивность. Философы смотрят на роль недедуктивные рассуждения в контексте открытия часто говорят как будто нужно найти какое-то единство (например, подзаголовок к Доказательства и опровержения Лакатоса — это «Логика Математическое открытие.«Более вероятно, что массив недедуктивные методы разнообразны и неоднородны. (Сравните Станислава Замечание Улама о том, что «изучение нелинейной физики как изучение биологии неслонов. »)

Работа современных философов математики продолжает подталкивать изучение недедуктивных математических методов по новым направлениям. Один область интересов — «математические естественные виды» и можно ли использовать такое понятие для обоснования использования аналогии в математические рассуждения (Corfield 2004 [Другие Интернет-ресурсы]).Еще одна исследуемая область — предполагаемая роль эвристического принципы математики. (Большая часть этой работы восходит к Pólya (1945).)

Предыстория всех этих дебатов касается степени который каждый конкретный недедуктивный метод играет существенную роль в оправдательной практике математики. Этот вопрос возникает как на локальном, так и на глобальном уровне. На местном уровне конкретная аргументация для оправдания данного результата может быть неизбежно недедуктивный, но результат также может быть установлен какое-то другое, чисто дедуктивное рассуждение.