Циклоид это: Циклоида — Википедия – Циклоидный (циклотимный) тип личности: особенности поведения

Автор: | 22.09.2020

Циклоида — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Катящаяся окружность рисует циклоиду

Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής «круглый») — плоская трансцендентная кривая.

Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности (радиуса r{\displaystyle r}), катящейся без скольжения по прямой.

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r{\displaystyle r}. Циклоида описывается:

r Таутохронность циклоиды r Колебания с циклоидным регулятором.
  • Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2πr{\displaystyle 2\pi r}. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t=2πk{\displaystyle t=2\pi k}, где k{\displaystyle k} — произвольное целое число.
  • Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
  • Длина арки циклоиды равна 8r{\displaystyle 8r}. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658). Зависимость длины дуги циклоиды (s) от параметра t следующая[1]: s(t)=4r(1−cos⁡t2){\displaystyle s(t)=4r(1-\cos {t \over 2})}.
  • Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды.
    [2]
    Математически этот факт первым доказал Роберваль около 1634 года с помощью метода неделимых.
  • Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен 4rsin⁡t2{\displaystyle 4r\sin {\frac {t}{2}}}.
  • «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
  • Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды. (Непосредственное следствие таутохронности).
  • Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в «острия».
  • Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида (ср. построение лемнискаты Бернулли).

Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли

рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от x,y{\displaystyle x,y}, циклоида — первая из исследованных.

Паскаль писал о циклоиде[3][4]:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса…

Оригинальный текст (фр.)

La Roulette est une ligne si commune, qu’apres la droitte, & la circulaire, il n’y en a point de si frequente; Et elle se décrit si fouuent aux yeux de tout le monde, qu’il y a lieu de s’estonner qu’elle n’ait point esté considerée par les anciens, dans lesquels on n’en trouue rien : Car ce n’est autre chose que le chemin que fait en l’air, le clou d’une rouë…

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

  1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 261. — 695 с. — 8000 экз. — ISBN 5-06-003955-2.
  2. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб: ЛКИ, 2008. — С. 213. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  3. Кляус Е. М., Погребысский И. Б., Франкфурт У. И. Паскаль. — М.: Наука, 1971. — С. 191. — (Научно-биографическая литература). — 10 000 экз.
  4. ↑ Pascal, Blaise. Histoire de la roulette, appellée autrement la trochoïde, ou la cycloïde, où l’on rapporte par quels degrez on est arrivé à la connoissance de la nature de cette ligne. 10 octobre 1658. P.1.
  • Берман Г. Н. Циклоида. М., Наука, 1980, 112 с.
  • Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 126-165. — ISBN 5-900916-83-9.
  • Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5.
  • Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Наука 1978 г., стр. 32.

Циклоида — это… Что такое Циклоида?

Катящаяся окружность рисует циклоиду

Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής — круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса , катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса .

  • Циклоида описывается параметрически
    ,
    .
  • Уравнение в декартовых координатах:
  • Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Свойства

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}. Таутохронность циклоиды
  • «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
  • Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
  • Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно — параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
  • Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).

Исторический очерк

Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель (фр. Charles de Bovelles, 1479—1566) в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от , циклоида — первая из исследованных.

Паскаль писал о циклоиде:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

Литература

  • Берман Г. Н. Циклоида. М., Наука, 1980, 112 с.
  • Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 126-165. — ISBN 5-900916-83-9
  • Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5.
  • Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Наука 1978 г., стр. 32.

Ссылки

Примечания

  1. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб: ЛКИ, 2008. — С. 213. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4

См. также

ЦИКЛОИДА | Энциклопедия Кругосвет

ЦИКЛОИДА (в переводе с греч. кругообразный) – плоская трансцендентная кривая, которую описывает точка окружности радиуса r, катящейся по прямой без скольжения (трансцендентной кривой называется кривая, которая в прямоугольных координатах не может быть описана алгебраическим уравнением). Ее параметрическое уравнение

x = rtr sin t,
y = r – r cos t

Точки пересечения циклоиды с прямой, по которой катится окружность (эта окружность называется производящей, а прямая, по которой она катится, – направляющей), называются точками возврата, а самые высокие точки на циклоиде, расположенные посредине между соседними точками возврата, называются вершинами циклоиды.

ЦИКЛОИДА

Первым изучать циклоиду начал Галилео Галилей. Длина одной арки циклоиды была определена в 1658 английским архитектором и математиком Кристофером Реном, автором проекта и строителем купола собора Святого Павла в Лондоне. Оказалось, что длина циклоиды равна 8-ми радиусам производящей окружности.
Одно из замечательных свойств циклоиды, давшее ей название – брахистохрона (от греческих слов «кратчайший» и «время) связано с решением задачи о наискорейшем спуске. Встал вопрос, какую форму надо придать хорошо отшлифованному (чтобы практически исключить трение) желобу, соединяющему две  точки, чтобы шарик скатился вниз от одной точки к другой в кратчайшее время. Братья Бернулли доказали, что желоб должен иметь форму опрокинутой вниз циклоиды.

Родственные циклоиде кривые можно получить, рассматривая траектории точек, не находящихся на производящей окружности.

Пусть точка С0 находится внутри окружности. Если провести через С0 вспомогательную окружность с тем же центром, что и у производящей окружности, то при качении производящей окружности по прямой АВ маленькая окружность будет катиться по прямой A´В´, но ее качение  будет сопровождаться скольжением, и точка С0 описывает кривую, называемую укороченной циклоидой.

Аналогичным образом определяется удлиненная циклоида – это траектория точки, расположенной на продолжении радиуса производящей окружности, при этом качение сопровождается скольжением в противоположном направлении.

Циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах и свойства их используются, например, при построении профилей зубьев шестерен, в циклоидальных маятниках, в оптике и, таким образом, изучение этих кривых важно с прикладной точки зрения. Не менее важно и то, что, изучая эти кривые и их свойства, ученые 17 в. разрабатывали приемы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений, а задача о брахистохроне явилась шагом к изобретению вариационного исчисления. 

Елена Малишевская

 

Проверь себя!
Ответь на вопросы викторины «Математика»

Как звали математика, который в 19 лет решил задачу, не поддававшуюся усилиям лучших геометров со времен Евклида?

Циклоида — Математические этюды

Помни­те оран­же­вые пласт­мас­со­вые ка­та­фо­ты — све­то­от­ра­жа­те­ли, при­креп­ля­ю­щи­е­ся к спи­цам ве­ло­си­пед­но­го ко­ле­са? При­кре­пим ка­та­фот к са­мо­му обо­ду ко­ле­са и про­сле­дим за его тра­ек­то­ри­ей. По­лу­чен­ные кри­вые при­над­ле­жат се­мей­ству цик­ло­ид.

Ко­ле­со при этом на­зы­ва­ет­ся про­из­во­дя­щим кру­гом (или окруж­но­стью) цик­ло­и­ды.

Но да­вай­те вер­нём­ся в наш век и пе­ре­ся­дем на бо­лее совре­мен­ную тех­ни­ку. На пу­ти бай­ка по­пал­ся ка­му­шек, ко­то­рый за­стрял в про­тек­то­ре ко­ле­са. Про­вер­нув­шись несколь­ко кру­гов с ко­ле­сом, ку­да по­ле­тит ка­мень, ко­гда вы­ско­чит из про­тек­то­ра? Про­тив на­прав­ле­ния дви­же­ния мо­то­цик­ла или по на­прав­ле­нию?

Как из­вест­но, сво­бод­ное дви­же­ние те­ла на­чи­на­ет­ся по ка­са­тель­ной к той тра­ек­то­рии, по ко­то­рой оно дви­га­лось. Ка­са­тель­ная к цик­ло­и­де все­гда на­прав­ле­на по на­прав­ле­нию дви­же­ния и про­хо­дит через верх­нюю точ­ку про­из­во­дя­щей окруж­но­сти. По на­прав­ле­нию дви­же­ния по­ле­тит и наш ка­му­шек.

Помни­те, как Вы ка­та­лись в дет­стве  по лу­жам на ве­ло­си­пе­де без зад­не­го кры­ла? Мок­рая по­лос­ка на ва­шей спине яв­ля­ет­ся жи­тей­ским под­твер­жде­ни­ем толь­ко что по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та.

Век XVII — это век цик­ло­и­ды. Луч­шие учё­ные изу­ча­ли её уди­ви­тель­ные свой­ства.

Ка­кая тра­ек­то­рия при­ве­дёт те­ло, дви­жу­ще­е­ся под дей­стви­ем си­лы тя­же­сти, из од­ной точ­ки в дру­гую за крат­чай­шее вре­мя? Это бы­ла од­на из пер­вых за­дач той на­у­ки, ко­то­рая сей­час но­сит на­зва­ние ва­ри­а­ци­он­ное ис­чис­ле­ние.

Ми­ни­ми­зи­ро­вать (или мак­си­ми­зи­ро­вать) мож­но раз­ные ве­щи — дли­ну пу­ти, ско­рость, вре­мя. В за­да­че о бра­хи­сто­хроне ми­ни­ми­зи­ру­ет­ся имен­но вре­мя (что под­чёр­ки­ва­ет­ся са­мим на­зва­ни­ем: греч. βράχιστος — наи­мень­ший, χρόνος — вре­мя).

Пер­вое, что при­хо­дит на ум, — это пря­мо­ли­ней­ная тра­ек­то­рия. Да­вай­те так­же рас­смот­рим пе­ре­вёр­ну­тую цик­ло­и­ду с точ­кой воз­вра­та в верх­ней из за­дан­ных то­чек. И, сле­дуя за Га­ли­лео Га­ли­ле­ем, — чет­вер­тин­ку окруж­но­сти, со­еди­ня­ю­щую на­ши точ­ки.

Сде­ла­ем боб­слей­ные трас­сы с рас­смот­рен­ны­ми про­фи­ля­ми и про­сле­дим, ка­кой из бо­бов при­е­дет пер­вым.

Ис­то­рия боб­слея бе­рёт своё на­ча­ло в Швей­ца­рии. В 1924 го­ду во фран­цуз­ском го­ро­де Ша­мо­ни про­хо­дят пер­вые зим­ние Олим­пий­ские иг­ры. На них уже про­во­дят­ся со­рев­но­ва­ния по боб­слею для эки­па­жей дво­ек и чет­вё­рок. Един­ствен­ный год, ко­гда на Олим­пий­ских иг­рах эки­паж бо­ба со­сто­ял из пя­ти че­ло­век, был 1928. С тех пор в боб­слее все­гда со­рев­ну­ют­ся муж­ские эки­па­жи двой­ки и чет­вёр­ки. В пра­ви­лах боб­слея мно­го ин­те­рес­но­го. Ко­неч­но же, су­ще­ству­ет огра­ни­че­ния на вес бо­ба и ко­ман­ды, но су­ще­ству­ют да­же огра­ни­че­ния на ма­те­ри­а­лы, ко­то­рые мож­но ис­поль­зо­вать в конь­ках бо­ба (пе­ред­няя па­ра их по­движ­на и свя­за­на с ру­лём, зад­няя за­креп­ле­на жёст­ко). На­при­мер, ра­дий не мо­жет ис­поль­зо­вать­ся при из­го­тов­ле­нии конь­ков.

Да­дим старт на­шим чет­вёр­кам. Ка­кой же боб пер­вым при­е­дет к фини­шу? Боб зе­лё­но­го цве­та, вы­сту­па­ю­щий за ко­ман­ду Ма­те­ма­ти­че­ских этю­дов и ка­тив­ший­ся по цик­ло­и­даль­ной гор­ке, при­хо­дит пер­вым!

По­че­му же Га­ли­лео Га­ли­лей рас­смат­ри­вал чет­вер­тин­ку окруж­но­сти и счи­тал, что это наи­луч­шая в смыс­ле вре­ме­ни тра­ек­то­рия спус­ка? Он впи­сы­вал в неё ло­ма­ные и за­ме­тил, что при уве­ли­че­нии чис­ла зве­ньев вре­мя спус­ка умень­ша­ет­ся. От­сю­да Га­ли­лей  есте­ствен­ным об­ра­зом пе­ре­шёл к окруж­но­сти, но сде­лал невер­ный вы­вод, что эта тра­ек­то­рия наи­луч­шая сре­ди всех воз­мож­ных. Как мы ви­де­ли, наи­луч­шей тра­ек­то­ри­ей яв­ля­ет­ся цик­ло­и­да.

Через две дан­ные точ­ки мож­но про­ве­сти един­ствен­ную цик­ло­и­ду с усло­ви­ем, что в верх­ней точ­ке на­хо­дит­ся точ­ка воз­вра­та цик­ло­и­ды. И да­же ко­гда цик­ло­и­де при­хо­дит­ся под­ни­мать­ся, чтобы прой­ти через вто­рую точ­ку, она всё рав­но бу­дет кри­вой наи­ско­рей­ше­го спус­ка!

Ещё од­на кра­си­вая за­да­ча, свя­зан­ная с цик­ло­и­дой, — за­да­ча о та­у­то­хроне. В пе­ре­во­де с гре­че­ско­го ταύτίς озна­ча­ет «тот же са­мый», χρόνος, как мы уже зна­ем — «вре­мя».

Сде­ла­ем три оди­на­ко­вые гор­ки с про­фи­лем в ви­де цик­ло­и­ды, так, чтобы кон­цы го­рок сов­па­да­ли и рас­по­ла­га­лись в вер­шине цик­ло­и­ды. По­ста­вим три бо­ба на раз­ные вы­со­ты и да­дим от­маш­ку. Уди­ви­тель­ней­ший факт — все бо­бы при­едут вниз од­новре­мен­но!

Зи­мой Вы мо­же­те по­стро­ить во дво­ре гор­ку изо льда и про­ве­рить это свой­ство вжи­вую.

За­да­ча о та­у­то­хроне со­сто­ит в на­хож­де­нии та­кой кри­вой, что, на­чи­ная с лю­бо­го на­чаль­но­го по­ло­же­ния, вре­мя спус­ка в за­дан­ную точ­ку бу­дет оди­на­ко­вым.

Хри­сти­ан Гюй­генс до­ка­зал, что един­ствен­ной та­у­то­хро­ной яв­ля­ет­ся цик­ло­и­да.

Ко­неч­но же, Гюй­ген­са не ин­те­ре­со­вал спуск по ле­дя­ным гор­кам. В то вре­мя учё­ные не име­ли та­кой рос­ко­ши за­ни­мать­ся на­у­ка­ми из люб­ви к ис­кус­ству. За­да­чи, ко­то­рые изу­ча­лись, ис­хо­ди­ли из жиз­ни и за­про­сов тех­ни­ки то­го вре­ме­ни. В XVII ве­ке со­вер­ша­ют­ся уже даль­ние мор­ские пла­ва­ния. Ши­ро­ту мо­ря­ки уме­ли опре­де­лять уже до­ста­точ­но точ­но, но уди­ви­тель­но, что дол­го­ту не уме­ли опре­де­лять со­всем. И один из пред­ла­гав­ших­ся спо­со­бов из­ме­ре­ния ши­ро­ты был ос­но­ван на на­ли­чии точ­ных хро­но­мет­ров.

Пер­вым, кто за­ду­мал де­лать ма­ят­ни­ко­вые ча­сы, ко­то­рые бы­ли бы точ­ны, был Га­ли­лео Га­ли­лей. Од­на­ко в тот мо­мент, ко­гда он на­чи­на­ет их ре­а­ли­зо­вы­вать, он уже стар, он слеп, и за остав­ший­ся год сво­ей жиз­ни учё­ный не успе­ва­ет сде­лать ча­сы. Он за­ве­ща­ет это сы­ну, од­на­ко тот мед­лит и на­чи­на­ет за­ни­мать­ся ма­ят­ни­ком то­же лишь пе­ред смер­тью и не успе­ва­ет ре­а­ли­зо­вать за­мы­сел. Сле­ду­ю­щей зна­ко­вой фигу­рой был Хри­сти­ан Гюй­генс.

Он за­ме­тил, что пе­ри­од ко­ле­ба­ния обыч­но­го ма­ят­ни­ка, рас­смат­ри­вав­ше­го­ся Га­ли­ле­ем, за­ви­сит от из­на­чаль­но­го по­ло­же­ния, т.е. от ам­пли­ту­ды. За­ду­мав­шись о том, ка­ко­ва долж­на быть тра­ек­то­рия дви­же­ния гру­за, чтобы вре­мя ка­че­ния по ней не за­ви­се­ло от ам­пли­ту­ды, он ре­ша­ет за­да­чу о та­у­то­хроне. Но как за­ста­вить груз дви­гать­ся по цик­ло­и­де? Пе­ре­во­дя тео­ре­ти­че­ские ис­сле­до­ва­ния в прак­ти­че­скую плос­кость, Гюй­генс де­ла­ет «щёч­ки», на ко­то­рые на­ма­ты­ва­ет­ся ве­рев­ка ма­ят­ни­ка, и ре­ша­ет ещё несколь­ко ма­те­ма­ти­че­ских за­дач. Он до­ка­зы­ва­ет, что «щёч­ки» долж­ны иметь про­филь той же са­мой цик­ло­и­ды, тем са­мым по­ка­зы­вая, что эво­лю­той  цик­ло­и­ды яв­ля­ет­ся цик­ло­и­да с те­ми же па­ра­мет­ра­ми.

Кро­ме то­го, пред­ло­жен­ная Гюй­ген­сом кон­струк­ция цик­ло­и­даль­но­го ма­ят­ни­ка поз­во­ля­ет по­счи­тать дли­ну цик­ло­и­ды. Ес­ли си­нюю ни­точ­ку, дли­на ко­то­рой рав­на че­ты­рём ра­ди­у­сам про­из­во­дя­ще­го кру­га, мак­си­маль­но от­кло­нить, то её ко­нец бу­дет в точ­ке пе­ре­се­че­ния «щёч­ки» и цик­ло­и­ды-тра­ек­то­рии, т.е. в вер­шине цик­ло­и­ды-«щёч­ки». Так как это по­ло­ви­на дли­ны ар­ки цик­ло­и­ды, то пол­ная дли­на рав­на вось­ми ра­ди­у­сам про­из­во­дя­ще­го кру­га.

Хри­сти­ан Гюй­генс сде­лал цик­ло­и­даль­ный ма­ят­ник, и ча­сы с ним про­хо­ди­ли ис­пы­та­ния в мор­ских пу­те­ше­стви­ях, но не при­жи­лись. Впро­чем, так же, как и ча­сы с обыч­ным ма­ят­ни­ком для этих це­лей.

От­че­го же, од­на­ко, до сих пор су­ще­ству­ют ча­со­вые ме­ха­низ­мы с обык­но­вен­ным ма­ят­ни­ком? Ес­ли при­гля­деть­ся, то при ма­лых от­кло­не­ни­ях, как у крас­но­го ма­ят­ни­ка, «щёч­ки» цик­ло­и­даль­но­го ма­ят­ни­ка по­чти не ока­зы­ва­ют вли­я­ния. Со­от­вет­ствен­но, дви­же­ние по цик­ло­и­де и по окруж­но­сти при ма­лых от­кло­не­ни­ях по­чти сов­па­да­ют.

ЦИКЛОИДА — это… Что такое ЦИКЛОИДА?

  • ЦИКЛОИДА — (греч., от kyklos круг, и eidos вид). В геометрии, кривая, описываемая точкою круга, катящегося по прямой линии; кривообразная линия. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ЦИКЛОИДА греч., от kyklos, круг …   Словарь иностранных слов русского языка

  • циклоида — ы, ж. cycloïde <гр. kykloeides кругообразный. геом. Плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой. БАС 1. Поэтический полет определен циклоидой. В. Ф. Одоевский Импровизатор. Эллипс имеет не те качества,… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • ЦИКЛОИДА — (от греч. kykloeides кругообразный) плоская кривая, описываемая точкой Р окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Циклоида трансцендентная кривая. См. также Гипоциклоида, Эпициклоида …   Большой Энциклопедический словарь

  • ЦИКЛОИДА — ЦИКЛОИДА, циклоиды, жен., (греч. kykloeidos кругообразный) (мат.). Кривая линия, описываемая точкой окружности, которая катится без скольжения по прямой линии. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • циклоида — сущ., кол во синонимов: 2 • кривая (56) • линия (182) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • циклоида — Траектория точки окружности круга, катящегося без скольжения по прямой линии. [http://sl3d.ru/o slovare.html] Тематики машиностроение в целом …   Справочник технического переводчика

  • Циклоида — Катящаяся окружность рисует циклоиду Циклоида (от греч. κυκλοειδής  круглый)  пло …   Википедия

  • циклоида — ы; ж. [греч. kykloeides кругообразный от kyklos круг и eidos вид] Матем. Плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. * * * циклоида (от греч. kykloeidēs  кругообразный), плоская… …   Энциклопедический словарь

  • Циклоида — Гипоциклоида. ЦИКЛОИДА (от греческого kykloeides кругообразный), плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Если кривая описывается точкой окружности, которая катится без скольжения по… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • ЦИКЛОИДА — (от греч. kykloeides кругообразный, круглый) плоская траектория точки окружности, катящейся по прямой линии (см. рис.). Циклоида …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЦИКЛОИДА — (от греч. kykloeides кругообразный), плоская трансцендентная кривая (рис.), описываемая точкой Р окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. См. также Гипоциклоида, Эпициклоида …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Эпициклоида — Википедия

    Материал из Википедии — свободной энциклопедии

    Эпицикло́ида (от др.-греч. ὲπί — на, над, при и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

    EpitrochoidOn3-generation.gif

    Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R{\displaystyle R}, радиус катящейся по ней окружности равен r{\displaystyle r}, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно φ{\displaystyle \varphi }:

    {x=(R+r)cos⁡φ−rcos⁡(α+R+rrφ)y=(R+r)sin⁡φ−rsin⁡(α+R+rrφ){\displaystyle {\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y=(R+r)\sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}}

    где α{\displaystyle \alpha } — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x), φ{\displaystyle \varphi } — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX{\displaystyle OX}.

    Можно ввести величину k=Rr{\displaystyle \textstyle k={\frac {R}{r}}}, тогда уравнения предстанут в виде

    {x=r(k+1)(cos⁡φ−cos⁡((k+1)φ)k+1)y=r(k+1)(sin⁡φ−sin⁡((k+1)φ)k+1){\displaystyle {\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y=r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}}

    Величина k{\displaystyle k} определяет форму эпициклоиды. При k=1{\displaystyle k=1} эпициклоида образует кардиоиду, а при k=2{\displaystyle k=2} — нефроиду. Если k{\displaystyle k} — несократимая дробь вида mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}} (m,n∈N{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }), то m{\displaystyle m} — это количество каспов данной эпициклоиды, а n{\displaystyle n} — количество полных вращений катящейся окружности. Если k{\displaystyle k} иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

    Гипоциклоида — Википедия

    Пусть в начальный момент окружности касаются в точке A{\displaystyle A}, лежащей на оси OX{\displaystyle OX}, где точка O{\displaystyle O} — центр большой окружности. Координаты точки A{\displaystyle A} при этом — (kr,0){\displaystyle (kr,0)}, где k=Rr{\displaystyle k={\frac {R}{r}}}. Рассмотрим, как меняются координаты точки A{\displaystyle A}, привязанной к катящейся окружности (A{\displaystyle A} переходит в A′{\displaystyle A’}). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки C′{\displaystyle C’} в точку C′{\displaystyle C’} и повернулся относительно точки O{\displaystyle O} на угол t{\displaystyle t}. Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между CA{\displaystyle CA} и C′A′{\displaystyle C’A’}) равен t−kt=−(k−1)t{\displaystyle t-kt=-(k-1)t}. Во-вторых, координаты точки C′{\displaystyle C’} будут такими: (cos(t)(k−1)r,sin(t)(k−1)r){\displaystyle (cos(t)(k-1)r,sin(t)(k-1)r)}. Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки A′{\displaystyle A’}:

    {x=cos(t)(k−1)r+cos((k−1)t)ry=sin(t)(k−1)r−sin((k−1)t)r{\displaystyle {\begin{cases}x=cos(t)(k-1)r+cos((k-1)t)r\\y=sin(t)(k-1)r-sin((k-1)t)r\end{cases}}}

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.