Представления функции: Функции представления

предоставляют простые средства для сравнения входных и выходных данных заданной функции. Полная таблица, в которой перечислены все входы и выходы, может использоваться только при небольшом количестве входов и выходов. Неполную таблицу можно использовать для перечисления нескольких выбранных входов и выходов. Этот тип таблицы часто указывает форму функции или шаблон для генерации выходных данных из входных данных.

Полные таблицы могут сказать вам, является ли данное отношение функцией или нет. Рассмотрим следующую полную таблицу,

При осмотре мы видим, что приведенная выше таблица представляет функцию, поскольку каждый вход соответствует ровно одному выходу. Не пугайтесь, что результат y = −2 указан дважды. Тот факт, что два разных входа приводят к одному и тому же выходу, не нарушает определения функции. С другой стороны, приведенная ниже таблица не представляет функцию,

В этом случае вход x = 3 дает два разных выхода: y = 1 и y = -1.Это также верно для входа x = 1, что соответствует выходам y = 2 и y = −3. .

Символическое представление

Функции обычно представлены символически, потому что эти представления компактны. Пример символьного представления —

f ( x ) = y = 2 x .

В этом случае мы умножаем каждый вход x на 2, чтобы получить соответствующий результат y .

Другой пример символьного представления —

г ( x ) = x ² +1.

В этом случае мы возьмем каждый вход размером x , возведем его в квадрат, а затем добавим единицу.

Как узнать, представляет ли данное уравнение функцию?

Не все уравнения являются символическими представлениями функций. Например, рассмотрим следующее уравнение:

y ² = x .

Является ли y функцией x в приведенном выше уравнении? Чтобы определить, является ли y функцией x , удобно решить для y как,

Теперь ясно, что y не является функцией x , потому что для каждого действительного ввода x (кроме x = 0) есть два выхода. Например, вход x = 4 приводит к выходам

Графики

Теперь мы рассмотрим графические представления функций.График — это способ визуализировать упорядоченные пары ( x , y ) на наборе координатных осей (плоскость xy ). Мы начнем с демонстрации графического представления функции, представленной в таблице

Мы можем построить график этой функции, построив упорядоченные пары, перечисленные в приведенной выше таблице (т.е. (−3, 1), (−2, −2), (−1, 2), (0, 4), ( 1, −3), (2, −2), (3, −1)) as,

Обратите внимание, что мы не соединяем точки, потому что таблица дает нам только функциональные значения определенных точек.Нам неизвестны функциональные значения между двумя точками, например x = −3 и x = −2. Следовательно, мы должны предполагать, что функция не определена в этих точках. Несмотря на то, что мы не соединяем точки на графике, он по-прежнему представляет функцию, потому что каждый вход соответствует ровно одному выходу.

Если обозначить точки в таблице, то

имеем следующий график,

Очевидно, что этот график показывает назначение нескольких выходов входам x = 1 и x = 3, и поэтому не представляет функцию.Этот пример показывает, как графики являются удобным способом представления отношений, поскольку можно легко проверить, представляет ли конкретный график функцию. Если график представляет функцию, тогда он пройдет тест вертикальной линии , который утверждает, что набор точек представляет функцию тогда и только тогда, когда ни одна вертикальная линия не пересекает график более чем в одной точке. Это имеет смысл, потому что если вход x назначен ровно одному выходу y , то вертикальная линия, которая соответствует одному значению x , будет пересекать график только в одной точке.Если, с другой стороны, вертикальная линия пересекает график f более чем в одном месте, то f не является функцией и не проходит проверку вертикальной линии. Используя тест вертикальной линии, мы видим, что предыдущий график не представляет функцию,

Представление области и диапазона функции

Теперь мы рассмотрим два способа визуализации домена и диапазона функции. Мы начнем со следующей диаграммы домена и диапазона:

Как вы можете видеть, точки в наборе с левой стороны, в области, отображаются функцией с точками в наборе с правой стороны, в диапазоне.То есть входы в домене отображаются f на выходы в диапазоне.

Мы можем визуализировать область и диапазон функции графически следующим образом:

Красные стрелки на графике показывают, что график простирается до бесконечности. Зеленые стрелки показывают область как целую действительную линию (т.е. все действительные числа или (-∞, ∞)). Синяя стрелка показывает диапазон функции как (−2, ∞). Не у всех функций есть домены, состоящие из всех действительных чисел.Многие функции определены таким образом, что некоторые входные данные не могут быть приняты. Например, x = 0 не входит в область определения функции

, потому что деление на ноль — неопределенная операция. Все остальные входные данные действительны, потому что деление определено для всех действительных чисел, кроме нуля, и поэтому мы записываем домен как

По мере того, как мы исследуем различные функции по отдельности, мы узнаем об их доменах и диапазонах.

*****

В следующем разделе мы опишем некоторые свойства функций.

Properties

1.1: Четыре способа представления функции

Цели обучения

• Определите, представляет ли отношение функцию.
• Найдите значение функции.
• Определите, является ли функция взаимно однозначной.
• Используйте тест вертикальной линии для определения функций.
• Изобразите функции, перечисленные в библиотеке функций.

Авиалайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета. Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования. В этом разделе мы разберем такие отношения.

Определение того, представляет ли отношение функцию

Отношение — это набор упорядоченных пар.Набор первых компонентов каждой упорядоченной пары называется областью, а набор вторых компонентов каждой упорядоченной пары называется диапазоном. Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре — это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.

\ [\ {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10) \} \ tag {1.1.1} \]

Домен \ (\ {1, 2, 3, 4, 5 \} \). Диапазон равен \ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \).

Обратите внимание, что каждое значение в домене также известно как входное значение или независимая переменная и часто обозначается строчной буквой \ (x \).Каждое значение в диапазоне также называется выходным значением или зависимой переменной и часто обозначается строчной буквой \ (y \).

Функция \ (f \) — это отношение, которое присваивает одно значение в диапазоне каждому значению в домене. Другими словами, никакие \ (x \) — значения не повторяются. В нашем примере, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене, {1, 2, 3, 4, 5}, связан ровно с одним элементом в диапазон, \ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \).

Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами. Будет отображаться как

\ [\ mathrm {\ {(нечетное, 1), (четное, 2), (нечетное, 3), (четное, 4), (нечетное, 5) \}} \ tag {1.1.2} \]

Обратите внимание, что каждый элемент в домене {четный, нечетный} не связан ровно с одним элементом в диапазоне \ (\ {1, 2, 3, 4, 5 \} \). Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из области \ (\ {1, 3, 5 \} \), а термин «четный» соответствует двум значениям из диапазона \ (\ {2, 4 \} \).Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.

На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) сравниваются отношения, которые являются функциями, а не функциями.

Функция

Функция — это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход — это функция входа».

Входные значения составляют область , а выходные значения составляют диапазон .

Как сделать: учитывая связь между двумя величинами, определите, является ли связь функцией

1. Определите входные значения.
2. Определите выходные значения.
3. Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, классифицируйте отношение как функцию. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): определение того, являются ли прайс-листы меню функциями

Меню кофейни, показанное на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), состоит из предметов и их цен.

1. Цена зависит от товара?
2. Товар зависит от цены?
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): меню с ценами на пончики из кафе, где простой пончик стоит 1 доллар.49, пончик с желе и шоколадный пончик — 1,99 доллара.

Решение

1. Давайте начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню. Выходные значения — это цены. См. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): меню с ценами на пончики из кафе, где простой пончик стоит 1,49 доллара, а пончик с желе и шоколадный пончик — 1,99 доллара.

У каждого элемента в меню есть только одна цена, поэтому цена зависит от элемента.

1. Два пункта меню имеют одинаковую цену.Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных. См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Связь цен с пончиками.

Следовательно, товар не зависит от цены.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): определение того, являются ли правила оценки класса функциями

В конкретном математическом классе общая процентная оценка соответствует среднему баллу.Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? В таблице \ (\ PageIndex {1} \) показано возможное правило назначения оценок.

Таблица \ (\ PageIndex {1} \): баллы за класс.

Процентное содержание	0–56	57–61	62–66	67–71	72–77	78–86	87–91	92–100
Средний балл	0.0	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0

Решение

Для любой процентной оценки существует связанный средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл.

В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу. Например, учащиеся, получившие средний балл 3,0, могут иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Таблица \ (\ PageIndex {2} \) перечисляет пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов.

Таблица \ (\ PageIndex {2} \): пять величайших бейсболистов.

Игрок	Рейтинг
Бэйб Рут	1
Уилли Мейс	2
Тай Кобб	3
Уолтер Джонсон	4
Хэнк Аарон	5

1. Является ли ранг функцией имени игрока?
2. Имя игрока зависит от ранга?

Ответьте на

Есть

Ответ б

да.(Примечание: если бы два игрока были разделены, скажем, за 4-е место, то имя не зависело бы от ранга.)

Использование обозначения функций

Как только мы определим, что отношение является функцией, нам нужно отобразить и определить функциональные отношения, чтобы мы могли их понять и использовать, а иногда и чтобы мы могли программировать их в компьютерах. Есть разные способы представления функций. Стандартные обозначения функций — это одно из представлений, облегчающих работу с функциями.

Чтобы представить «рост является функцией возраста», мы начинаем с определения описательных переменных \ (h \) для роста и \ (a \) для возраста. Буквы \ (f \), \ (g \) и \ (h \) часто используются для обозначения функций точно так же, как мы используем \ (x \), \ (y \) и \ (z \) для обозначения числа и \ (A \), \ (B \) и \ (C \) для представления множеств.

\ [\ begin {array} {ll} h \ text {is} f \ text {of} a \; \; \; \; \; \; & \ text {Назовем функцию} f \ text {; высота является функцией возраста.} \\ h = f (a) & \ text {Мы используем круглые скобки для обозначения ввода функции.} \\ f (a) & \ text {Мы называем функцию} f \ text {; выражение читается как «} f \ text {of} a \ text {.»} \ end {array} \]

Помните, мы можем использовать любую букву для названия функции; обозначение \ (h (a) \) показывает нам, что \ (h \) зависит от \ (a \). Значение \ (a \) необходимо поместить в функцию \ (h \), чтобы получить результат. Скобки указывают, что возраст вводится в функцию; они не указывают на умножение.

Мы также можем дать алгебраическое выражение в качестве входных данных для функции.Например, \ (f (a + b) \) означает «сначала сложите \ (a \) и \ (b \), и результат будет входом для функции \ (f \)». Для получения правильного результата операции необходимо выполнять именно в таком порядке.

Обозначение функций

Запись \ (y = f (x) \) определяет функцию с именем \ (f \). Это читается как «\ (y \) является функцией \ (x \)». Буква \ (x \) представляет входное значение или независимую переменную. Буква \ (y \) или \ (f (x) \) представляет выходное значение или зависимую переменную.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): использование обозначения функций для дней в месяце

Используйте обозначение функции для представления функции, вход которой является названием месяца, а выход — количеством дней в этом месяце.

Решение

Использование обозначения функций для дней в месяце

Используйте обозначение функции для представления функции, вход которой является названием месяца, а выход — количеством дней в этом месяце.

Количество дней в месяце является функцией названия месяца, поэтому, если мы назовем функцию \ (f \), мы напишем \ (\ text {days} = f (\ text {month}) \) или \ (d = f (m) \). Название месяца — это вход в «правило», которое связывает определенное число (выход) с каждым входом.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (31 = f (январь) \), где 31 — результат вывода, f — правило, а январь — ввод.

Например, \ (f (\ text {March}) = 31 \), потому что в марте 31 день. Обозначение \ (d = f (m) \) напоминает нам, что количество дней, \ (d \) (выход), зависит от названия месяца \ (m \) (вход).

Анализ

Обратите внимание, что входные данные функции не обязательно должны быть числами; входные данные функции могут быть именами людей, метками геометрических объектов или любым другим элементом, определяющим какой-либо вид вывода.Однако большинство функций, с которыми мы будем работать в этой книге, будут иметь числа как входы и выходы.

Пример \ (\ PageIndex {3B} \): интерпретация обозначения функции

Функция \ (N = f (y) \) дает количество полицейских \ (N \) в городе в году \ (y \). Что означает \ (f (2005) = 300 \)?

Решение

Когда мы читаем \ (f (2005) = 300 \), мы видим, что входной год — 2005. Выходное значение, количество полицейских \ ((N) \), равно 300.Помните, \ (N = f (y) \). Утверждение \ (f (2005) = 300 \) говорит нам, что в 2005 году в городе было 300 полицейских.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Используйте обозначение функций, чтобы выразить вес свиньи в фунтах как функцию ее возраста в днях \ (d \).

Ответ

\ (ш = е (г) \)

Вопросы и ответы

Вместо обозначения, такого как \ (y = f (x) \), можем ли мы использовать тот же символ для вывода, что и для функции, например, \ (y = y (x) \), означающий «\ (y \) является функцией \ (x \)? »

Да, это часто делается, особенно по прикладным предметам, использующим высшую математику, например физике и инженерии.Однако, исследуя математику, нам нравится проводить различие между такой функцией, как \ (f \) , которая является правилом или процедурой, и выходом y, который мы получаем, применяя \ (f \) к конкретному ввод \ (x \) . Вот почему мы обычно используем такие обозначения, как \ (y = f (x), P = W (d) \) и т. Д.

Представление функций с помощью таблиц

Общий метод представления функций — в виде таблицы. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения.В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений.

Таблица \ (\ PageIndex {3} \) перечисляет входное число каждого месяца (\ (\ text {Январь} = 1 \), \ (\ text {Февраль} = 2 \) и т. Д.) И вывод значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце \ (f \), где \ (D = f (m) \) идентифицирует месяцы целым числом, а не именем.

Таблица \ (\ PageIndex {3} \): Месяцы и количество дней в месяце.

Номер месяца, \ (м \) (ввод)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Дни в месяце, \ (D \) (вывод)	31	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31

Таблица \ (\ PageIndex {4} \) определяет функцию \ (Q = g (n) \). Помните, это обозначение говорит нам, что \ (g \) — это имя функции, которая принимает входные данные \ (n \) и дает результат \ (Q \).

Таблица \ (\ PageIndex {4} \): Функция \ (Q = g (n) \)

\ (п \)	1	2	3	4	5
\ (Q \)	8	6	7	6	8

Таблица \ (\ PageIndex {5} \) отображает возраст детей в годах и соответствующий им рост.В этой таблице показаны лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Мы сразу видим, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма.

Таблица \ (\ PageIndex {5} \): возраст детей и их рост.

Возраст в годах, \ (a \) (ввод)	5	5	6	7	8	9	10
Высота в дюймах, \ (h \) (выход)	40	42	44	47	50	52	54

Как: по таблице входных и выходных значений определить, представляет ли таблица функцию

1. Определите входные и выходные значения.
2. Проверьте, сопряжено ли каждое входное значение только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию.

Пример \ (\ PageIndex {5} \): определение таблиц, представляющих функции

Какая таблица, Таблица \ (\ PageIndex {6} \), Таблица \ (\ PageIndex {7} \) или Таблица \ (\ PageIndex {8} \), представляет функцию (если есть)?

Таблица \ (\ PageIndex {6} \)

Ввод	Выход
2	1
5	3
8	6

Таблица \ (\ PageIndex {7} \)

Ввод	Выход
-3	5
0	1
4	5

Таблица \ (\ PageIndex {8} \)

Ввод	Выход
1	0
5	2
5	4

Решение

Таблица \ (\ PageIndex {6} \) и Таблица \ (\ PageIndex {7} \) определяют функции.В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. Таблица \ (\ PageIndex {8} \) не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям.

Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции.

Функция, представленная таблицей \ (\ PageIndex {6} \), может быть представлена ​​записью

\ [f (2) = 1 \ text {,} f (5) = 3 \ text {и} f (8) = 6 \ nonumber \]

Аналогично выписки

\ [g (−3) = 5 \ text {,} g (0) = 1 \ text {и} g (4) = 5 \ nonumber \]

представляют функцию в таблице \ (\ PageIndex {7} \).

Таблица \ (\ PageIndex {8} \) не может быть выражена аналогичным образом, потому что она не представляет функцию.

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Представляет ли таблица \ (\ PageIndex {9} \) функцию?

Таблица \ (\ PageIndex {9} \)

Ввод	Выход
1	10
2	100
3	1000

Ответ

да

Поиск входных и выходных значений функции

Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию.Оценка всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению.

Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем вход. Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут давать одно и то же выходное значение.

Вычисление функций в алгебраических формах

Когда у нас есть функция в форме формулы, вычислить ее обычно несложно.2 + 2p − 3 = 0 & \ text {Вычтите по 3 с каждой стороны.} \\ (p + 3) (p − 1) = 0 & \ text {Factor.} \ End {array} \ nonumber \]

Если \ ((p + 3) (p − 1) = 0 \), либо \ ((p + 3) = 0 \), либо \ ((p − 1) = 0 \) (или оба они равны \ (0 \)). Мы установим каждый множитель равным \ (0 \) и решим относительно \ (p \) в каждом случае.

\ [(p + 3) = 0, \; p = −3 \ nonumber \]

\ [(p − 1) = 0, \, p = 1 \ nonumber \]

Это дает нам два решения. Выход \ (h (p) = 3 \), когда вход либо \ (p = 1 \), либо \ (p = −3 \). Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).2 + 2п \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Учитывая функцию \ (g (m) = \ sqrt {m − 4} \), решите \ (g (m) = 2 \).

Ответ

\ (м = 8 \)

Вычисление функций, выраженных в формулах

Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения . Если можно выразить выход функции с помощью формулы, включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме.Например, уравнение \ (2n + 6p = 12 \) выражает функциональную связь между \ (n \) и \ (p \). Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли \ (p \) функцией \ (n \).

Как: Для данной функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.

1. Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства, а другую сторону как выражение, которое включает только входную переменную.
2. Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или от них, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одинаковую величину.

Пример \ (\ PageIndex {8A} \): поиск уравнения функции

Выразите отношение \ (2n + 6p = 12 \) как функцию \ (p = f (n) \), если это возможно.

Решение

Чтобы выразить отношение в этой форме, нам нужно иметь возможность записать отношение, где \ (p \) является функцией \ (n \), что означает запись его как \ (p = [\ text {выражение с участием} п] \).

\ [\ begin {align *} 2n + 6p & = 12 \\ 6p & = 12−2n && \ text {Вычтите 2n с обеих сторон.} \\ p & = \ dfrac {12−2n} {6} & & \ text {Разделите обе стороны на 6 и упростите.} \\ p & = \ frac {12} {6} — \ frac {2n} {6} \\ p & = 2− \ frac {1} {3} n \ end {align *} \]

Следовательно, \ (p \) как функция от \ (n \) записывается как

\ [p = f (n) = 2− \ frac {1} {3} n \ nonumber \]

Анализ

Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, можно также выразить как функцию с формулой. 2 = 1 \) функцию с \ (x \) на входе и \ (y \) на выходе? Если это так, выразите отношение как функцию \ (y = f (x) \).y \), если мы хотим выразить y как функцию от x, не существует простой алгебраической формулы, включающей только \ (x \), которая равна \ (y \). Однако каждый \ (x \) определяет уникальное значение для \ (y \), и существуют математические процедуры, с помощью которых \ (y \) может быть найден с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для \ (y \) как функции \ (x \), даже если формулу нельзя записать явно.

Оценка функции, заданной в табличной форме

Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц.И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев. И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.

Функция, которая связывает тип питомца с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы (Table \ (\ PageIndex {10} \)).

Таблица \ (\ PageIndex {10} \)

Память питомца	интервал в часах
Щенок	0,008
Взрослая собака	0.083
Кот	3
Золотая рыбка	2160
Бета-рыба	3600

Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений. Здесь вызовем функцию \ (P \). Область функции — это тип домашнего животного, а диапазон — это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память питомца.Мы можем оценить функцию \ (P \) при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали \ (P (золотая рыбка) = 2160 \). Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции P кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.

Как сделать: для функции, представленной в виде таблицы, определить конкретные выходные и входные значения

1.Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
4. Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.

Пример \ (\ PageIndex {9} \): Вычисление и решение табличной функции

Использование таблицы \ (\ PageIndex {11} \),

а. Оцените \ (g (3) \).
г. Решите \ (g (n) = 6 \).

Таблица \ (\ PageIndex {11} \)

\ (п \)	1	2	3	4	5
\ (г (п) \)	8	6	7	6	8

Решение

а.Вычисление \ (g (3) \) означает определение выходного значения функции \ (g \) для входного значения \ (n = 3 \). Выходное значение таблицы, соответствующее \ (n = 3 \), равно 7, поэтому \ (g (3) = 7 \).
г. Решение \ (g (n) = 6 \) означает определение входных значений n, которые производят выходное значение 6. Таблица \ (\ PageIndex {12} \) показывает два решения: 2 и 4.

Таблица \ (\ PageIndex {12} \)

\ (п \)	1	2	3	4	5
\ (г (п) \)	8	6	7	6	8

Когда мы вводим 2 в функцию \ (g \), на выходе получаем 6.Когда мы вводим 4 в функцию \ (g \), наш результат также равен 6.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Используя Table \ (\ PageIndex {12} \), вычислите \ (g (1) \).

Ответ

\ (г (1) = 8 \)

Поиск значений функций из графика

Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график.Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.

Пример \ (\ PageIndex {10} \): чтение значений функций из графика

Учитывая график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \),

1. Оценить \ (f (2) \).
2. Решите \ (f (x) = 4 \).
Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): График положительной параболы с центром в \ ((1, 0) \).

Решение

Чтобы оценить \ (f (2) \), найдите точку на кривой, где \ (x = 2 \), затем прочтите координату y этой точки.Точка имеет координаты \ ((2,1) \), поэтому \ (f (2) = 1 \). См. Рисунок \ (\ PageIndex {8} \).

\ (\ PageIndex {8} \): график положительной параболы с центром в \ ((1, 0) \) с отмеченной точкой \ ((2, 1) \), где \ (f (2) = 1 \) .

Чтобы решить \ (f (x) = 4 \), мы находим выходное значение 4 на вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по прямой \ (y = 4 \), мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением 4: \ ((- 1,4) \) и \ ((3,4) \). Эти точки представляют два решения \ (f (x) = 4 \): −1 или 3. Это означает \ (f (−1) = 4 \) и \ (f (3) = 4 \), или когда вход — -1 или 3, выход — 4.См. Рисунок \ (\ PageIndex {9} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): График обращенной вверх параболы с вершиной в \ ((0,1) \) и помеченными точками в \ ((- 1, 4) \) и \ ((3 , 4) \). Прямая в точке \ (y = 4 \) пересекает параболу в отмеченных точках.

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

Учитывая график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \), решите \ (f (x) = 1 \).

Ответ

\ (x = 0 \) или \ (x = 2 \)

Определение того, является ли функция взаимно однозначной

Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям.Например, на биржевой диаграмме, показанной на рисунке в начале этой главы, цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять различных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов.

Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа. Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как указано в Таблице \ (\ PageIndex {13} \).

Таблица \ (\ PageIndex {13} \): буквенные оценки и десятичные эквиваленты.

Letter Grade	Средний балл
A	4,0
Б	3,0
С	2,0
D	1,0

Эта система оценок представляет собой функцию «один к одному», потому что каждая вводимая буква дает один конкретный выходной средний балл, а каждый средний балл соответствует одной вводимой букве.

Чтобы визуализировать эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, изображенные на рисунках \ (\ PageIndex {1a} \) и \ (\ PageIndex {1b} \). Функция в части (a) показывает взаимосвязь, которая не является взаимно однозначной, потому что входы \ (q \) и \ (r \) оба дают выход \ (n \). Функция в части (b) показывает взаимосвязь, которая является функцией «один-к-одному», потому что каждый вход связан с одним выходом.

Индивидуальные функции

Однозначная функция — это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению.2 \). Поскольку площади и радиусы являются положительными числами, существует ровно одно решение: \ (\ sqrt {\ frac {A} {\ pi}} \). Таким образом, площадь круга однозначно зависит от радиуса круга.

Упражнение \ (\ PageIndex {11A} \)

1. Является ли остаток функцией номера банковского счета?
2. Является ли номер банковского счета функцией баланса?
3. Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета?

Ответ

а.да, потому что на каждом банковском счете в любой момент времени имеется единый баланс;

г. нет, потому что несколько номеров банковских счетов могут иметь одинаковый баланс;

г. нет, потому что один и тот же выход может соответствовать более чем одному входу.

Упражнение \ (\ PageIndex {11B} \)

Оцените следующее:

1. Если каждая процентная оценка, полученная на курсе, соответствует одной буквенной оценке, является ли буквенная оценка функцией процентной оценки?
2. Если да, то функция взаимно однозначная?

Ответ

а.Да, буквенная оценка является функцией процентной оценки;
г. Нет, не один на один. Мы могли бы получить 100 различных процентных чисел, но только около пяти возможных буквенных оценок, поэтому не может быть только одного процентного числа, соответствующего каждой буквенной оценке.

Использование теста вертикальной линии

Как мы видели в некоторых примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают огромное количество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений.Обычно графики строятся с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

Наиболее распространенные графики называют входное значение \ (x \) и выходное значение \ (y \), и мы говорим, что \ (y \) является функцией \ (x \), или \ (y = f (x) \), когда функция названа \ (f \). График функции — это совокупность всех точек \ ((x, y) \) на плоскости, которая удовлетворяет уравнению \ (y = f (x) \). Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующим выходным значением.Например, черные точки на графике на рисунке \ (\ PageIndex {10} \) говорят нам, что \ (f (0) = 2 \) и \ (f (6) = 1 \). Однако множество всех точек \ ((x, y) \), удовлетворяющих \ (y = f (x) \), является кривой. Показанная кривая включает \ ((0,2) \) и \ ((6,1) \), потому что кривая проходит через эти точки

. Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): График многочлена.

Тест вертикальной линии можно использовать для определения того, представляет ли график функцию. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию, которая пересекает график более одного раза, то график не определяет функцию, потому что функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.См. Рисунок \ (\ PageIndex {11} \) .

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): три графика, наглядно демонстрирующие, что является функцией, а что нет.

Практическое руководство. Имея график, используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию

1. Проверьте график, чтобы увидеть, не пересекает ли нарисованная вертикальная линия кривую более одного раза.
2. Если такая линия есть, определите, что график не представляет функцию.

Пример \ (\ PageIndex {12} \): Применение теста вертикальной линии

Какой из графиков на рисунке \ (\ PageIndex {12} \) представляет (ы) функцию \ (y = f (x) \)?

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): график полинома (a), наклонной вниз прямой (b) и круга (c).

Решение

Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией. Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) рисунка \ (\ PageIndex {12} \). Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что не более чем значений x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {13} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): График круга.

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Представляет ли график на рисунке \ (\ PageIndex {14} \) функцию?

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): График функции абсолютного значения.

Ответ

да

Использование теста горизонтальной линии

После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли функция взаимно однозначной, — это использовать тест горизонтальной линии .Проведите через график горизонтальные линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более одного раза, то график не представляет собой взаимно однозначную функцию.

Практическое руководство. Имея график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график однозначную функцию

1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
2. Если такая линия есть, определите, что функция не является взаимно однозначной.

Пример \ (\ PageIndex {13} \): применение теста горизонтальной линии

Рассмотрим функции, показанные на рисунке \ (\ PageIndex {12a} \) и рисунке \ (\ PageIndex {12b} \). Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

Решение

Функция на рисунке \ (\ PageIndex {12a} \) не является взаимно однозначной. Горизонтальная линия, показанная на рисунке \ (\ PageIndex {15} \), пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках.)

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \): График многочлена с горизонтальной линией, пересекающей 2 точки

Функция на рисунке \ (\ PageIndex {12b} \) взаимно однозначна. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

Является ли график, показанный на рисунке \ (\ PageIndex {13} \), взаимно однозначным?

Ответ

Нет, потому что он не проходит проверку горизонтальной линии.

В этом тексте мы будем исследовать функции — формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Изучая арифметику, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор базовых именованных функций, для которых мы знаем график, формулу и специальные свойства. 2} \)

1. Функция квадратного корня \ (f (x) = \ sqrt {x} \)
2. Кубическая корневая функция \ (f (x) = 3 \ sqrt {x} \)

Ключевые понятия

• Отношение — это набор упорядоченных пар.Функция — это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.
• Функциональная нотация — это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме \ (y = f (x) \).
• В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, которые относятся к входным и выходным значениям.
• Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением.
• Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение.
• Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения.
• Входные и выходные значения функции можно определить по таблице.
• Связь входных значений с выходными значениями на графике — еще один способ оценить функцию.
• Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.
• График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.
• График функции «один к одному» прошел проверку горизонтальной линии.

Глоссарий

зависимая переменная
выходная переменная

домен
набор всех возможных входных значений для отношения

функция
отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение

Проверка горизонтальной линии
Метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза

независимая переменная
входная переменная

ввод
каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция

взаимно однозначная функция
функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода

output
каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию

диапазон
набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении

связь
набор заказанных пар

Проверка вертикальной линии
Метод проверки того, представляет ли график функцию, путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

Авторы и авторство

Представлений функций: функциональные таблицы, графики и уравнения — видео и стенограмма урока

Таблица функций

Таблица функций — это таблица упорядоченных пар, которая соответствует взаимосвязи или правилу функции.Чтобы создать таблицу функций для нашего примера, давайте сначала выясним правило, которое определяет нашу функцию. У нас есть, что каждая часть отработанного дня дает нам эту долю в 200 долларов. Таким образом, если мы работаем один день, мы получаем 200 долларов, потому что 1 * 200 = 200. Если мы работаем два дня, мы получаем 400 долларов, потому что 2 * 200 = 400. Если мы работаем 1,5 дня, мы получаем 300 долларов, потому что 1,5 * 200 = 300. Мы видим здесь закономерность?

Чтобы найти общую сумму денег, заработанных на этой работе, мы умножаем количество отработанных нами дней на 200.Таким образом, наше правило состоит в том, что мы берем значение x (количество отработанных дней) и умножаем его на 200, чтобы получить y (общая сумма заработанных денег).

Для отображения этого правила можно использовать таблицу функций. Как вы можете видеть здесь, в первой строке таблицы функций мы перечисляем значения x , а во второй строке таблицы мы перечисляем соответствующие значения y в соответствии с правилом функции.

x = # отработанных дней	1	2	3	3.5	5	7,25	8
y = общая сумма заработанных денег	200	400	600	700	1000	1450	1600

Иногда таблицы функций отображаются с использованием столбцов вместо строк. В этом случае в первом столбце отображаются значения x , а во втором столбце отображаются значения y .

x = # отработанных дней	да = общий доход
1	200
2	400
3	600
3,5	700
5	1000
7,25	1450
8	1600

Уравнение функции

Другой способ представить функцию — использовать уравнение.В этом представлении мы просто преобразуем наше правило в форму уравнения. В нашем примере правило состоит в том, что мы берем количество отработанных дней, x , и умножаем его на 200, чтобы получить общую сумму заработанных денег, y . Выражаясь алгебраически, получаем, что в 200 раз x равно y . В форме уравнения имеем y = 200 x .

Когда у нас есть уравнение, представляющее нашу функцию, мы можем использовать его, чтобы найти y для различных значений x , подставляя в уравнение значения x .Например, если бы мы хотели узнать, сколько денег вы заработали бы, проработав 9,5 дней, мы бы подставили x = 9,5 в наше уравнение.

Мы видим, что если бы вы проработали 9,5 дней, вы бы заработали 1900 долларов. Неплохо!

Графики функций

Последнее представление функции, которое мы собираемся рассмотреть, — это график. Мы увидели, что функция может быть представлена ​​уравнением, а поскольку уравнения можно изобразить в виде графиков, мы можем построить график функции.Чтобы представить функцию графически, мы находим несколько упорядоченных пар, которые удовлетворяют нашему правилу функции, строим их, а затем соединяем их в красивую плавную кривую.

В нашем примере у нас есть несколько упорядоченных пар, которые мы нашли в нашей таблице функций, так что это удобно! У нас есть точки (1, 200), (2, 400), (3, 600), (3.5, 700), (5, 1000), (7.25, 1450) и (8, 1600). Изобразим их на графике.

Упорядоченные пары, удовлетворяющие правилу функции

Мы видим, что они принимают форму прямой линии, поэтому мы соединяем точки таким образом.

Графическое представление нашей функции

Мы можем использовать графическое представление функции, чтобы лучше анализировать функцию. Например, в нашем примере мы видим, что функция поднимается слева направо, говоря нам, что чем больше дней мы работаем, тем больше денег мы зарабатываем. Это также показывает, что мы будем зарабатывать деньги линейно.

Резюме урока

Хорошо, давайте на минутку вспомним, что мы узнали.Функция — это связь между двумя переменными, так что одна переменная определяется другой переменной. Мы можем представить функцию с помощью слов, объяснив взаимосвязь между переменными. Мы можем представить функцию с помощью таблицы функций , отображая упорядоченные пары, которые удовлетворяют правилу функции, в табличной форме. Функцию можно представить с помощью уравнения, преобразовав наше функциональное правило в алгебраическое уравнение. Наконец, мы можем использовать график для представления функции путем построения графика уравнения, представляющего функцию.

Очень полезно ознакомиться со всеми различными типами представлений функции. Эти знания могут помочь нам лучше понять функции и лучше передать функции, с которыми мы работаем, другим. Обязательно поместите эти различные представления в свой набор математических инструментов для использования в будущем!

Графическое представление функций

Функции имеют независимую переменную и зависимую переменную. Когда мы смотрим на такую ​​функцию, как $ f (x) = \ frac {1} {2} x $, мы называем изменяемую переменную, в данном случае $ x $, независимой переменной.Мы присваиваем значение функции переменной, в данном случае $ y $, которую мы называем зависимой переменной. Обозначение функции, $ f (x) $ читается как «$ f $ из $ x $», что означает «значение функции в $ x $». Поскольку выходная или зависимая переменная — это $ y $, для обозначения функции часто умноженное на $ f (x) $ рассматривается как $ y $. Упорядоченные пары, обычно указываемые в линейных уравнениях как $ (x, y) $, в обозначении функций теперь записываются как $ (x, f (x)) $.

Мы говорим, что $ x $ является независимым, потому что мы можем выбрать любое значение, для которого определена функция, в данном случае набор действительных чисел $ \ mathbb {R} $, в качестве входных данных в функцию.Мы говорим, что результат присваивается зависимой переменной, поскольку он зависит от того, какое значение мы поместили в функцию.

Пример 1. Начнем с простой линейной функции:

$ \ displaystyle f (x) = 5- \ frac {5} {2} x $.

Начните с построения графика, как если бы $ f (x) $ — это линейное уравнение:

$ \ displaystyle y = 5- \ frac {5} {2} x $

Мы выбираем несколько значений для независимой переменной $ x $. Выберем отрицательное значение, ноль и положительное значение:

$ \ displaystyle х = -2, 0, 2 $.

Затем подставьте эти значения в функцию для $ x $ и решите для $ f (x) $ (что означает то же, что и зависимая переменная $ y $): мы получаем упорядоченные пары:

$ \ displaystyle (-2,10), (0,5), (2,0) $

Эта функция является линейной, поскольку наивысший показатель в функции равен $ 1 $, поэтому просто соедините три точки. Растяните их в любом направлении за точки до бесконечности, и у нас есть наш график.

Линейный график

Это график функции $ f (x) = 5- \ frac {5} {2} x $.{*} f}: {g \ in G} \} $ в пространстве всех непрерывных функций на $ X $ порождает конечномерное подпространство. Функции представления также называются сферическими или почти инвариантными функциями. Функции представления со значениями в поле $ k = \ mathbf R $ или $ \ mathbf C $ сформировать $ G $ — инвариант $ k $ — подалгебра $ F (X, k) _ {G} $ в алгебре $ F (X, k) $ из всех $ k $ — значные непрерывные функции на $ X $. Если $ X = G $ — топологическая группа, действующая на себя левыми сдвигами, $ F (X, k) _ {G} = F (G, k) _ {G} $ совпадает с подпространством в $ F (G, k) $ порожденные матричными элементами конечномерных непрерывных линейных представлений $ G $.Если $ G $ является, кроме того, компактной группой, то можно ограничиться матричными элементами неприводимых представлений. Например, если $ G = T $ группа вращений плоскости, то функции представления на $ G $ — тригонометрические полиномы. Другой пример — классические сферические функции на сфере, которые являются функциями представления для стандартного действия группы вращения сферы. \ infty $ ( ср.{\ infty} (X, \ mathbf C) _ {G} $ конечно порождена и может быть отождествлена ​​с алгеброй регулярных функций на аффинно однородном алгебраическом многообразии над $ \ mathbf C $ набор вещественных точек которого совпадает с $ X $. Проблема разложения $ G $ — модуль $ F (X, \ mathbf C) _ {G} $ в прямую сумму простых $ G $ — модули важны для приложений. В случае, если $ X $ является симметричным однородным пространством компактной группы $ G $ она была решена Э. Картаном [1].

Обобщением функций представления являются сечения представления вектора $ G $ — пакет $ E $ более $ G $ — пробел $ X $, я.е. непрерывные участки, у которых $ G $ — орбиты порождают конечномерное подпространство в пространстве $ \ Gamma (E) $ всех непрерывных секций, например тензорные поля представления на гладких многообразиях с гладким действием группы Ли $ G $; они образуют $ G $ — подмодуль $ \ Gamma (E) _ {G} \ subset \ Gamma (E) $ ( ср. [5]). Если $ G $ компактная группа, подмодуль $ \ Gamma (E) _ {G} $ плотно в $ \ Gamma (E) $. В случае, если $ X $ — симметричное однородное пространство $ G $, разложение $ G $ — модуль $ \ Gamma (E) _ {G} $ на простые компоненты (см.[3]). Если $ X $ компактное однородное пространство полупростой группы Ли $ G $ без компактных факторов со связной стационарной подгруппой, то

$$ \ mathop {\ rm dim} \ Gamma (E) _ {G} <\ infty $$

(см. [2]).

Список литературы

[1]	Э. Картан, «Sur la détermination d’un système orthogonal complete dans un espace de Riemann symmétrique clos» Rend. Circ. Мат. Палермо , 53 (1929) стр.217–252
[2]	Ван Ча Дао, «Сферические сечения на компактном однородном пространстве» УМН. Наук , 30 : 5 (1975) с. 203–204
[3]	Ю.В. Дзядык, «Об определении спектра индуцированного представления на компактном симметрическом пространстве» Докл. Матем. Докл. , 16 (1975) с. 193–197 Докл. Акад. АН СССР , 220 : 5 (1975) с.1019–1022
[4]	A.M. Лукацкий, Успехи матем. Наук , 26 : 5 (1971) с. 212–213
[5]	А.Л. Онищик, «Об инвариантах и ​​почти инвариантах компактных групп преобразований» Trans. Московская математика. Soc. , 35 (1976) с. 237–267 Труды Моск. Мат. Общ. , 35 (1976) стр. 235–264

Более распространенное название «функции представления» — $ G $ — конечная функция.Термин «сферическая функция» обычно имеет другое значение, см. (Редакционные комментарии к) Сферические функции. Для работы Картана [1] о разложении $ F (X, \ mathbf C) _ {G} $ в случае компактного симметрического пространства $ X $ см. [a1], гл. В.

Список литературы

[a1]	S. Helgason, «Группы и геометрический анализ», Acad. Press (1984), стр. II, разд. 4

Как цитировать эту запись:
Функция представления. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Representation_function&oldid=48517

Эта статья была адаптирована из оригинальной статьи А.Л. Онищика (составителя), опубликованной в Encyclopedia of Mathematics — ISBN 1402006098. См. Исходную статью

Неявные нейронные представления с периодическими функциями активации

---

Неявно определенные, непрерывные, параметризованные дифференцируемые представления сигналов нейронные сети превратились в мощную парадигму, предлагающую множество возможных преимущества по сравнению с обычными представлениями.Однако текущая сетевая архитектура для таких неявных нейронных представлений неспособны моделировать сигналы с мелкими деталями и не в состоянии представить пространственные и временные производные сигнала, несмотря на то, что они необходимы для многих физических сигналов, определенных неявно как решение дифференциальных уравнений в частных производных. Предлагаем использовать периодические функции активации для неявных нейронных представлений и демонстрируют, что эти сети, получившие название синусоидальных сетей представления или СИРЕНЫ, идеально подходят для представления сложных естественных сигналов и их производных.Анализируем СИРЕНУ статистика активации, чтобы предложить принципиальную схему инициализации и продемонстрировать представление изображений, волновых полей, видео, звука и их производных. Дальше, мы показываем, как можно использовать СИРЕНЫ для решения сложных задач по граничным значениям. проблемы, такие как конкретные уравнения Эйконала (дающие функции расстояния со знаком), уравнение Пуассона, а также уравнения Гельмгольца и волновые уравнения. Наконец, мы объединяем SIREN с гиперсетями для изучения априорных значений над пространством функций SIREN.

Исходные данные

---

Следующие ниже результаты сравнивают SIREN с различными сетевыми архитектурами. TanH , ReLU , Softplus и т. Д. Означает MLP равного размера с соответствующей нелинейностью. Мы также сравниваем с недавно предложенным позиционным кодированием в сочетании с нелинейностью ReLU, отмеченной как ReLU P.E. SIREN значительно превосходит все базовые показатели, сходится значительно быстрее и является единственным архитектура, которая точно представляет градиенты сигнала, что позволяет использовать его для определения границ ценить проблемы.

Представление изображений

---

Сирена, которая отображает двухмерные пиксельные координаты в цвет, может использоваться для параметризации изображений. Здесь мы контролируем Сирену непосредственно с точными значениями пикселей. Сирена не только соответствует изображению с PSNR на 10 дБ выше, но и значительно меньше итераций, чем все базовые архитектуры, но это также единственный MLP, который точно представляет и производные второго порядка изображения.

Представление аудио

---

Сирена с одним входом с координатами времени и скалярным выходом может параметризовать аудиосигналы. Сирена единственная сетевая архитектура, которая успешно воспроизводит звуковой сигнал, как для музыки, так и для человеческого голоса.

Представление видео

---

Сирена с пиксельными координатами вместе с временной координатой может использоваться для параметризации видео.Здесь Siren напрямую контролируется с помощью точных значений пикселей и значительно параметризует видео. лучше, чем ReLU MLP.

Решение уравнения Пуассона

---

Контролируя только производные Siren, мы можем решить уравнение Пуассона. Сирена снова является единственной архитектурой, которая точно и быстро вписывается в области изображения, градиента и лапласиана.

Представление форм путем решения уравнения Эйконала


Интерактивная программа 3D SDF Viewer — перемещение по сценам с помощью мыши

---

Мы можем восстановить SDF из облака точек и нормалей поверхности, решив уравнение Эйконала уравнение, краевая задача первого порядка.СИРЕНА может восстановить сцену в масштабе комнаты, учитывая только ее облако точек. и нормали к поверхности, точно воспроизводящие мелкие детали, менее чем за час обучения. В отличие от недавних работ по объединению сеток вокселей с нейронными неявными представлениями, это сохраняет полную сцену с весами одной 5-слойной нейронной сети, без 2D или 3D свертки и на порядки меньше параметров. Увеличьте масштаб, чтобы сравнить мелкие детали! Обратите внимание, что эти SDF не контролируются наземными значениями SDF / занятости, а скорее являются результат решения указанной выше краевой задачи Эйконала.Это значительно более сложная задача, что требует наблюдения в градиентной области (см. статью). В результате архитектуры, градиенты которых плохо себя ведут, работают хуже, чем СИРЕНА.

Статуя — Сирена

Статуя — ReLU Pos. Прил.

Статуя — ReLU

Решение уравнения Гельмгольца

---

Здесь мы используем Siren для решения неоднородного уравнения Гельмгольца.Архитектуры, основанные на ReLU и Tanh, не могут полностью прийти к единому решению.

Решение волнового уравнения

---

Во временной области Siren удается решить волновое уравнение, в то время как архитектура на основе Tanh не может обнаружить правильное решение.

Связанные проекты

---

Ознакомьтесь с нашими связанными проектами по теме неявных нейронных представлений!


Мы определяем ключевую взаимосвязь между обобщением неявных нейронных представлений и мета- обучения, и предлагают использовать мета-обучение на основе градиентов для изучения априорных значений на глубоком знаковом расстоянии функции.Это позволяет нам реконструировать SDF на порядок быстрее, чем структура автодекодера, без потери производительности!

Непрерывное представление нейронной сцены с учетом трехмерной структуры, которое кодирует как геометрию, так и внешний вид, контролируется только в 2D через нейронный рендерер и обобщается для 3D-реконструкции из одного поставленного 2D-изображения.

Мы демонстрируем, что функции, полученные с помощью нейронных неявных представлений сцены, полезны для последующих задачи, такие как семантическая сегментация, и предложить модель, которая может научиться выполнять непрерывное 3D семантическая сегментация по классу объектов (например, стульям) с учетом только одной двумерной (!) карты семантических меток!

Бумага

---

Бибтекс

---

@inproceedings {sitzmann2019siren, author = {Зицманн, Винсент и Мартель, Жюльен Н.П. и Бергман, Александр В. и Линделл, Дэвид Б. и Ветцштейн, Гордон}, title = {Неявные нейронные представления с функциями периодической активации}, booktitle = {Proc. NeurIPS}, год = {2020} }

---

Отправляйте отзывы и вопросы Винсенту Зицманну

Глобальное редактирование свойств для всех представлений вспомогательной функции

Вы находитесь здесь: Справка EPLAN> Редактирование схем> Глобальное редактирование> Выполнить следующие действия> Глобальное редактирование свойств для всех представлений вспомогательной функции

Вспомогательная функция может быть представлена ​​в проекте более одного раза в виде распределенной однострочной, многострочной, обзорной, парной перекрестной ссылки и / или функции.Функция «Свойства (глобальные)» позволяет вам одновременно изменять общее для всех функциональных представлений одной вспомогательной функции, например, функциональный текст всех функциональных представлений НО контакта.

Предварительные условия:

• Вы открыли проект.
• Вы открыли графический редактор или навигатор устройства.
1. Чтобы глобально редактировать свойства вспомогательной функции в навигаторе устройства, выберите функциональное представление вспомогательной функции, а затем выберите Всплывающее меню> Свойства (глобальные).
   Для глобального редактирования свойств вспомогательной функции в графическом редакторе в меню «Параметры» выберите пункт меню «Свойства (глобальное)», а затем дважды щелкните представление функции вспомогательной функции.

   В диалоговом окне Свойства (глобально): <...> вкладка <Категория функции> помечена категорией функции соответствующего определения функции, например, <НО контакт> или <Предохранитель>.

2. Измените желаемые свойства вспомогательной функции.
3. Щелкните [OK].
4. Нажмите [F5] для обновления.

   Свойства изменяются на всех связанных функциональных представлениях выбранной вспомогательной функции.

Примечание:

В режиме редактирования свойств (глобальных) нельзя редактировать отображаемое ОУ, потому что отображаемые ОУ отдельных представлений функций могут отличаться. В этом случае поле недоступно.Однако, если вы измените полное ОУ, то отображаемое ОУ будет автоматически выведено из него. На вкладке <Категория функции> вы можете изменить полное ОУ для всех функциональных представлений вспомогательной функции. Эти функциональные представления больше не принадлежат устройству. Или во вкладке <Категория функций> (устройство) вы можете изменить полное ОУ для всего устройства.

См. Также

Глобальное редактирование свойств для всех представлений основной функции

Редактирование свойств выбранного представления функции

Глобальное изменение ОУ в функциях

.